Sous-espaces propres

[Anonyme]

Bonjour,

Qui peut m'expliquer simplement le résultat suivant :
Si E est de dimension finie, la somme des dimensions des différents
sous-espaces vectoriels propres d'un endomorphisme u est inférieure ou égale
à E.

Merci.

[Anonyme]

On Mon, 21 Jun 2004 12:00:45 +0200, error wrote:
>Bonjour,
>
>Qui peut m'expliquer simplement le résultat suivant :
>Si E est de dimension finie, la somme des dimensions des différents
>sous-espaces vectoriels propres d'un endomorphisme u est inférieure ou égale
>à E.

Il suffit de voir que les sous-espaces propres sont en somme directe.
Après, c'est une conséquence immédiate du résultat élémentaire :
si F et G sont deux sous-espaces en somme directe d'un espace E,
alors dim(F + G) = dim F + dim G.

--
Frédéric

[Anonyme]

et quand les sous-espaces propres ne sont pas en somme directe ??

"Frederic" a écrit dans le message de
news:slrncddfs1.3nr.beal@clipper.ens.fr...
> On Mon, 21 Jun 2004 12:00:45 +0200, error wrote:[color=green]
> >Bonjour,
> >
> >Qui peut m'expliquer simplement le résultat suivant :
> >Si E est de dimension finie, la somme des dimensions des différents
> >sous-espaces vectoriels propres d'un endomorphisme u est inférieure ou[/color]
égale[color=green]
> >à E.
>
> Il suffit de voir que les sous-espaces propres sont en somme directe.
> Après, c'est une conséquence immédiate du résultat élémentaire :
> si F et G sont deux sous-espaces en somme directe d'un espace E,
> alors dim(F + G) = dim F + dim G.
>
> --
> Frédéric[/color]

[Anonyme]

> et quand les sous-espaces propres ne sont pas en somme directe ??

Ils le sont.

--
Maxi

[Anonyme]

"error" a écrit dans le message de
news:40d6e8b3$0$3972$626a14ce@news.free.fr...
> et quand les sous-espaces propres ne sont pas en somme directe ??
>

C'est pas possible, on montre que si les Xi sont des vecteurs propres
associés aux valeurs propres Ki distinctes, ils sont libres.

Par récurrence (c'est vrai pour 1)
Si on suppose le truc vrai pour n vecteurs, alors pour n+1

somme(i = 1 -> n, Ai*Xi) + A(n+1)*X(n+1)= 0

on applique la fonction

somme(i = 1 -> n, AiKiXi) + A(n+1)*K(n+1)*X(n+1) = 0

on élimine X(n+1) entre les équations en multipliant la première par K(n+1),
on soustrait
et on sait que les Xi (i=1...n) sont libres d'où Ai = 0 pour tout i, et
A(n+1) = 0 (et on n'oublie pas que les Ki sont distincts)

[Anonyme]

Merci à tous !!

"error" a écrit dans le message de
news:40d6b1d4$0$3989$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Qui peut m'expliquer simplement le résultat suivant :
> Si E est de dimension finie, la somme des dimensions des différents
> sous-espaces vectoriels propres d'un endomorphisme u est inférieure ou
égale
> à E.
>
> Merci.
>
>