Evolution des vecteurs propres-valeurs propres

[Anonyme]

J'ai une matrice A symétrique à coefficients >0 et <1 sauf sur la
diagonale où les coefficients valent 1. Bon, je sais plus si elle est
forcément diagonalisable avec ces conditions-là mais on va supposer que
oui.

Je l'écris donc P D P^-1 avec les valeurs propres classées par ordre
décroissant.

Maintenant, je rajoute une ligne et une colonne à ma matrice A de façon
à avoir la matrice B =

/ | \
| A |X|
|---+-|
\ X'|1/

J'espère que mes talents de dessinateur vous épatent. Je veux voir s'il
y a une relation entre les n vecteurs propres de A et les n vecteurs
propres associés aux n premières valeurs propres de B.

En écrivant B = Q E Q^-1, j'ai déjà n^2 relations avec les coefficients
de A. Je me dis que j'en ai n de plus en sachant que les coefficients
diagonaux de A valent 1 et encore 2n quand je sais que les vecteurs
propres sont orthonormés.
Ca me fait donc n^2 + 3n équations et j'ai (n+1)^2 + n+1 inconnues, si
je ne me trompe pas. A 2 équations près, j'ai donc un système sympa,
donc je me disais qu'il était peut-être soluble.
En plus, ce qui m'intéresse, c'est le comportement à l'infini. Je pense
qu'on peut donc approcher la (n+1)e valeur propre de B par 0 pour
simplifier.

Des gens ont-ils des idées ou ont-ils déjà vu un problème similaire?

Merci.

--
Nicolas

[Anonyme]

Le Thu, 20 Nov 2003 19:40:02 +0000 (UTC),
Nicolas Le Roux grava à la saucisse et au marteau:

> En plus, ce qui m'intéresse, c'est le comportement à l'infini. Je pense
> qu'on peut donc approcher la (n+1)e valeur propre de B par 0 pour
> simplifier.

En fait, je m'ai trompé. Il existe un entier k tel que les matrices
aient comme nombre de valeurs propres non nulles min(taille matrice, k).
Donc au-delà d'un certain rang, le nombre de valeurs propres non nulles
ne varie pas.

--
Nicolas

[Anonyme]

Le Thu, 20 Nov 2003 19:55:56 +0000 (UTC),
Nicolas Le Roux grava à la saucisse et au marteau:

> En fait, je m'ai trompé. Il existe un entier k tel que les matrices
> aient comme nombre de valeurs propres non nulles min(taille matrice, k).
> Donc au-delà d'un certain rang, le nombre de valeurs propres non nulles
> ne varie pas.

On arrive donc au système:

Pour tout i,j <=p

Somme(k=1,p) E_{kk} V_{ki} V_{kj} = Somme(k=1,p) D_{kk} U_{ki} U_{kj}

et pour tout i <= p

Somme(k=1,p) E_{kk} V_{ki}^2 = Somme(k=1,p) D_{kk} U_{ki}^2 = 1

Je rappelle que le but est de déterminer les E_{ii} et les V_{ij} en
fonction des D_{ii} et des U_{ij}

Euh, j'ai supposé qu'on avait V^-1 = V' quand V est une matrice de
passage, j'espère que je me suis pas gourré.

--
Nicolas

[Anonyme]

Le Thu, 20 Nov 2003 19:40:02 +0000 (UTC),
Nicolas Le Roux grava à la saucisse et au marteau:

> Je l'écris donc P D P^-1 avec les valeurs propres classées par ordre
> décroissant.
>
> Maintenant, je rajoute une ligne et une colonne à ma matrice A de façon
> à avoir la matrice B =
>
> / | \
> | A |X|
> |---+-|
> \ X'|1/

En fait, si j'impose la forme de A et B, je ne peux pas supposer que les
valeurs propres sont ragnées par ordre décroissant. Daonc ça marche pas
mon truc. Zut alors.

Bon, ça va, vous avez eu l'air de pas trop chercher, je me sens moins
coupable

--
Nicolas