Valeurs propres

[Anonyme]

bonjour,

j'ai une matrice à coefficients réels.
est-ce que pour une valeur propre réelle de cette matrice, je peux avoir un
vecteur propre complexe; si non, pourquoi ??
merci de votre aide.
evelyne

[Anonyme]

wwbj3 wrote:
> bonjour,
>
> j'ai une matrice à coefficients réels.
> est-ce que pour une valeur propre réelle de cette matrice, je peux avoir un
> vecteur propre complexe; si non, pourquoi ??
> merci de votre aide.
> evelyne

Matrice identité.

[Anonyme]

On Sun, 20 Mar 2005 17:09:38 +0100, "wwbj3"
wrote:

>bonjour,
>
>j'ai une matrice à coefficients réels.
>est-ce que pour une valeur propre réelle de cette matrice, je peux avoir un
>vecteur propre complexe; si non, pourquoi ??
>merci de votre aide.
>evelyne
pour ta matrice A réelle de valeur propre réelle u il existe V dans
R^n tel que AV=uV

mais si tu multiplies V par i (par exemple)
tu auras A(iV)=u(iV)

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

Alain Pichereau a écrit :
> On Sun, 20 Mar 2005 17:09:38 +0100, "wwbj3"
> wrote:
>
>[color=green]
>>bonjour,
>>
>>j'ai une matrice à coefficients réels.
>>est-ce que pour une valeur propre réelle de cette matrice, je peux avoir un
>>vecteur propre complexe; si non, pourquoi ??
>>merci de votre aide.
>>evelyne
>
> pour ta matrice A réelle de valeur propre réelle u il existe V dans
> R^n tel que AV=uV
>
> mais si tu multiplies V par i (par exemple)
> tu auras A(iV)=u(iV)
>
> *****************
> http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> ( olympiades mathématiques 1ère S )
> *****************[/color]

J'ai l'impression que ce n'est pas ce qu'evelyne voulait dire (peut-être
que sa question était mal posée)
Je comprends sa question comme ça :
Si A est une matrice réelle admettant une valeur propre réelle u, la
dimension du sous-espace propre associé est-elle la même suivant qu'on
considère le sous-espace propre complexe ou le sous-espace réel ?
Autrement dit, ne risque-t-on pas de "perdre" de la dimension en ne
considérant que les vecteurs propres réels ? (Q1)
Plus précisément : a-t-on Dim_C ker_C (A-uI)=Dim_R Ker_R (A-uI) (Q2) ?

La réponse à (Q2) est oui, (donc non à (Q1))
car dans les deux cas la recherche du SE propre équivaut à résoudre un
système homogène à coefficients réels. Il est donc toujours possible de
se ramener à une matrice échelonnée par des opérations réelles, et la
base de solutions (donc de vecteurs propres) sera la même, que l'on
considère un C-ev ou un R-ev.

On peut résumer tout ceci ainsi : la recherche de rangs (donc la
dimension des SE propres) est une opération rationnelle. Le rang d'une
matrice ne change pas quand on se place dans un surcorps.

Quel est ton niveau evelyne ?

[Anonyme]

c'était effectivement ma question !!
merci!!!
evelyne (en spé)

"FDH" a écrit dans le message de
news:423db165$0$21836$626a14ce@news.free.fr...
> Alain Pichereau a écrit :[color=green]
> > On Sun, 20 Mar 2005 17:09:38 +0100, "wwbj3"
> > wrote:
> >
> >[color=darkred]
> >>bonjour,
> >>
> >>j'ai une matrice à coefficients réels.
> >>est-ce que pour une valeur propre réelle de cette matrice, je peux avoir[/color][/color]
un[color=green][color=darkred]
> >>vecteur propre complexe; si non, pourquoi ??
> >>merci de votre aide.
> >>evelyne
> >
> > pour ta matrice A réelle de valeur propre réelle u il existe V dans
> > R^n tel que AV=uV
> >
> > mais si tu multiplies V par i (par exemple)
> > tu auras A(iV)=u(iV)
> >
> > *****************
> > http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> > ( olympiades mathématiques 1ère S )
> > *****************[/color]
>
> J'ai l'impression que ce n'est pas ce qu'evelyne voulait dire (peut-être
> que sa question était mal posée)
> Je comprends sa question comme ça :
> Si A est une matrice réelle admettant une valeur propre réelle u, la
> dimension du sous-espace propre associé est-elle la même suivant qu'on
> considère le sous-espace propre complexe ou le sous-espace réel ?
> Autrement dit, ne risque-t-on pas de "perdre" de la dimension en ne
> considérant que les vecteurs propres réels ? (Q1)
> Plus précisément : a-t-on Dim_C ker_C (A-uI)=Dim_R Ker_R (A-uI) (Q2) ?
>
> La réponse à (Q2) est oui, (donc non à (Q1))
> car dans les deux cas la recherche du SE propre équivaut à résoudre un
> système homogène à coefficients réels. Il est donc toujours possible de
> se ramener à une matrice échelonnée par des opérations réelles, et la
> base de solutions (donc de vecteurs propres) sera la même, que l'on
> considère un C-ev ou un R-ev.
>
> On peut résumer tout ceci ainsi : la recherche de rangs (donc la
> dimension des SE propres) est une opération rationnelle. Le rang d'une
> matrice ne change pas quand on se place dans un surcorps.
>
> Quel est ton niveau evelyne ?[/color]