Série entière exp(exp(x))

[Anonyme]

Bonjour,

Comment montre t-on que exp(exp(x)) est développable en série entière?

Je sais que la composée de deux séries entières de rayon infini est une
série entière de rayon infini mais je ne sais pas le montrer. Si quelqu'un à
la démonstration et/ou une autre méthode

[Anonyme]

Jean avait énoncé :
> Bonjour,
>
> Comment montre t-on que exp(exp(x)) est développable en série entière?
>
> Je sais que la composée de deux séries entières de rayon infini est une
> série entière de rayon infini mais je ne sais pas le montrer. Si quelqu'un à
> la démonstration et/ou une autre méthode

Je pose f(x) = exp(exp(x)).
exp(x) = sum( x^k / k!, k=0..infty)
Donc f(x) = sum( (exp(x))^k / k!, k=0..infty) = sum( exp(k*x) / k!,
k=0..infty).

On utilise une seconde fois le développement de l'exponentielle :
f(x) = sum( { sum( (x*k)^j / j!, j=0..infty) } / k!, k=0..infty)
= sum( sum( (x*k)^j / (k!*j!) , j=0..infty) , k=0..infty)

La suite double ( (x*k)^j / (k!*j!) )_{k,j} est sommable (à toi de voir
pourquoi),
et on peut donc intervertir les sommations
(cf cours sur la sommabilité si tu es en spé.
ou cf théorème de Fubini dans le cadre de la théorie de la mesure)

Donc f(x) = sum( sum( (x*k)^j / (k!*j!) , k=0..infty) , j=0..infty)
Maintenant on peut sortir de la deuxième somme le x^j et le j! qui ne
dépendent pas de k :
f(x) = sum( (x^j / j!) * sum( k^j / k! , k=0..infty) , j=0..infty)
On a donc :
f(x) = sum( a_j*x^j , j=0..infty) avec a_j qui ne dépend pas de x.

[Anonyme]

> Je pose f(x) = exp(exp(x)).
> exp(x) = sum( x^k / k!, k=0..infty)
> Donc f(x) = sum( (exp(x))^k / k!, k=0..infty) = sum( exp(k*x) / k!,
> k=0..infty).
>
> On utilise une seconde fois le développement de l'exponentielle :
> f(x) = sum( { sum( (x*k)^j / j!, j=0..infty) } / k!, k=0..infty)
> = sum( sum( (x*k)^j / (k!*j!) , j=0..infty) , k=0..infty)
>
> La suite double ( (x*k)^j / (k!*j!) )_{k,j} est sommable (à toi de voir
> pourquoi),
> et on peut donc intervertir les sommations
> (cf cours sur la sommabilité si tu es en spé.

Je suis en spé mais la sommabitlité n'est plus au programme

> ou cf théorème de Fubini dans le cadre de la théorie de la mesure)

Je suis en spé

[Anonyme]

"Jean" a écrit dans le message de news:
420a99dd$0$19219$626a14ce@news.free.fr...

> Je suis en spé mais la sommabitlité n'est plus au programme
>

Et comment vous faites pour intervertir les sommations alors?

[Anonyme]

> "Jean" a écrit dans le message de news:
> 420a99dd$0$19219$626a14ce@news.free.fr...
>[color=green]
> > Je suis en spé mais la sommabitlité n'est plus au programme
> >
>
> Et comment vous faites pour intervertir les sommations alors?[/color]

Pour les intégrales il y a les théoremes classiques d'interversion et pour
les sommes proprement dites, a ma connaissance il n'y a que le critère:
\sum_p [reste de \sum_q] tend vers 0 => on peut intervertir