Cyberchand wrote:
> "Guillaume Yziquel" a écrit dans
> le message de news: 42167516$0$16298$636a15ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>Tu peux aussi montrer que chaque coefficient de la matrice d'arrivée est
>>un série entière en les coefficients de la matrice de départ.
>>(Commutatif). LE passage chiant c'est de prouver que le rayon de
>>convergence n'est pas trivial. Mais c'est doit être une conséquence de
>>quelque chose qui ressemble vaguement à la formule d'Hadamard.
>
>
> J'ai trouvé dans Formes quadratiques et groupes classiques de René Deheuvels
> une démonstration qui montre que chaque composante de l'exponentielle est
> analytique en les composantes de la matrice de départ. Cette démonstration
> est assez simple et élémentaire.
> J'ai pondu quelquechose, qui reprend cette preuve, avec des compléments
> venant de moi seul. Je ne suis donc vraiment sûr de ce que j'écris, et une
> aide extérieure serait bienvenue...
> Le fichier se trouve là :
> http://www2.votre-enfant.com/maths.pdf
> C'est à partir de 1.3 que j'ai des doutes, d'abord sur la définition de
> l'analycité (j'ai pris volontairement une définition pas du tout générale,
> pour simplifier le problème : j'ai supposé que la fonction était partout
> somme d'une même série entière centrée en 0) (pourquoi la série doit être
> absolument convergente, et pas convergente tout court?), puis sur la preuve
> qu'une fonction analytique est lisse. Enfin, la preuve de 1.4 vient du livre
> cité précedemment. Ma question est : pourquoi l'absolue convergence est
> nécessaire à montrer, alors qu'on sait déjà que la série est convergente
> simplement.[/color]
Voilà quelque commentaires:
Au 1.3, tout d'abord f est à valeurs dans R, pas R^n.
Deuxièmement, la terminologie "converge absolument pour tout x" est
critiquable :
1) faire abstraction du rayon de convergence, c'est le prendre infini,
et la terminologie serait plutôt "entière".
2) ça ne coûte pas beaucoup plus de parler de rayon de convergence.
Parler de convergence absolue pour tout x me paraît maladroit, car il
faut parler de convergence localement uniforme pour arriver facilement à
la continuité. Et de plus, le rayon de convergence est une notion qui
passe facilement à la dérivée.
3) personnellement, je préfère, lorsque les indices n'ont pas d'ordre
canonique, parler de "familles (normalement/uniformément) sommables".
Tu peux parler de rayon de convergence en t'intéressant à la série Somme
des |a_alpha| |R|^|alpha| et prendre le sup de tels R pour lesquels il y
a convergence absolue. Ca entraîne comme d'habitude la convergence
normale sur tout compact du disque B(0,R). Ca permet alors facilement de
prouver que les applications partielles sont encore analytiques. Mais,
mis à part cela, ça me paraît l'approche indispensable pour prouver ne
serait-ce que la continuité. (Peut-être pas si indispensable, mais en
tout cas naturelle).
Troisièmement, beaucoup plus important, car ça rejoint les
préoccupations de René Baire au début du siècle, lorsqu'il a trouvé son
"lemme" : Une fonction à deux variables, qui est continue en x1 à x2
fixé, et continue en x2 à x1 fixé, n'est pas forcément continue.
Contre-exemple dû à Johannes Thomae dans les années 1870:
2xy/(x^2+y^2). Observer la discontinuité sur la droite x=y.
Pour la culture sur la notion de semi-continuité:
http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1927__55__141_0
Pour que R^n ---> R^n soit analytique, la bonne définition serait plutôt
que les composantes (espace d'arrivée) soient analytiques (et non pas
les applications partielles).
Mais pareil, ça se résoud en choisissant une bonne définition du rayon
de convergence.
J'ai pas remarqué de fautes dans la partie Théorème. Toutefois, pour moi
, ça ne montre que la convergence absolue en tout point. Pas l'analyticité.
En général, il est faux de dire que si f est la série ponctuelle de
fonctions f_n positives (donc convergence absolue en tout point), alors
f est continue. Tu peux seulement dire que f est semi-continue
inférieurement. Baire toujours. Dans le cas de séries entières, il est
peut-être possible de faire mieux (genre théorèmes de Dini bidouillés).
Mais c'est non-trivial.
Je te ferais peut-être une proposition de pdf.
[color=green][color=darkred]
>>>utilisant la formule de Cauchy, et qui montre le résultat seulement pour
>>>l'exponentielle. Malheureusement, je ne crois pas qu'elle s'étende à
>>>toutes les séries entières...
>>
>>Je pense qu'elle s'étend effectivement. Tu devrais y regarder de plus
>>près, (ou en tout cas me faire part des réflexions de ce cher monsieur
>>Lafontaine).[/color]
>
>
> La formule à montrer est :
> exp A = 1/(2i pi) intégrale sur le cercle C(0,r) de (zI-A)^{-1} e^z dz, pour
> r le rayon spectral de A. Cette formule se démontre en utilisant la densité
> des matrices diagonalisables, et du fait que si A est diagonale, cette
> formule est une conséquence de la formule de Cauchy.[/color]
Vu l'explication que tu fais, je ne vois aucune raison pour que ce
théorème ne passe pas avec une série entière où les coefficients sont
des réels.
Rappel: les réels correspondent à des matrices du type kI_n. Elles
commutent à toute matrice (C'est le "centre" de GL_n(C)).
Série entière dans Mn(C)
27 messages
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Re: série entière dans Mn(C)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:20
"Guillaume Yziquel" a écrit dans le message de
news: 4219fc34$0$30059$636a15ce@news.free.fr...
>
> Voilà quelque commentaires:
>
> Au 1.3, tout d'abord f est à valeurs dans R, pas R^n.
La notion d'analycité pour une fonction à valeurs vectorielles n'a pas de
sens?
>
> Deuxièmement, la terminologie "converge absolument pour tout x" est
> critiquable :
> 1) faire abstraction du rayon de convergence, c'est le prendre infini,
> et la terminologie serait plutôt "entière".
> 2) ça ne coûte pas beaucoup plus de parler de rayon de convergence.
Il faut quand même redémontrer l'existence du rayon de convergence, etc,
dans le cas d'une série à plusieurs variables. Je voulais justement dire le
moins de choses possibles sur ce point, parce que ce n'est pas le but de mon
exposé. Au départ, je ne voulais même pas mentionner l'analycité, et je
voulais me restreindre au cas C infini. Quand j'ai vu qu'il n'était pas plus
simple de montrer la lissité que l'analycité, j'ai changé d'avis. Mais mon
but est quand même de montrer le plus simplement possible l'analycité, donc
la lissité, de l'exponentielle.
> Parler de convergence absolue pour tout x me paraît maladroit, car il
> faut parler de convergence localement uniforme pour arriver facilement à
> la continuité. Et de plus, le rayon de convergence est une notion qui
> passe facilement à la dérivée.
> 3) personnellement, je préfère, lorsque les indices n'ont pas d'ordre
> canonique, parler de "familles (normalement/uniformément) sommables".
OK. Je peux donc écrire "où la famille est normalement sommable sur les
compacts"? ça veut bien dire que la famille des valeurs absolues est majorée
sur tout compact, par une famille sommable à termes positifs indépendante de
la variable?
>
> Tu peux parler de rayon de convergence en t'intéressant à la série Somme
> des |a_alpha| |R|^|alpha| et prendre le sup de tels R pour lesquels il y
> a convergence absolue.
Tu veux dire sommabilité?
> Ca entraîne comme d'habitude la convergence
> normale sur tout compact du disque B(0,R). Ca permet alors facilement de
> prouver que les applications partielles sont encore analytiques. Mais,
> mis à part cela, ça me paraît l'approche indispensable pour prouver ne
> serait-ce que la continuité. (Peut-être pas si indispensable, mais en
> tout cas naturelle).
Je vais réfléchir à une nouvelle démonstration que les applications
partielles d'une série entière à plusieurs variables sont analytiques. Cet
embryon de démonstration tient-il la route?
On fixe toutes les variables sauf une, disons x1. On impose que sup |xi| =R, ce qu'il fallait plus ou
moins démontrer. J'ai comme l'impression que c'est un peu foireux...
>
> Troisièmement, beaucoup plus important, car ça rejoint les
> préoccupations de René Baire au début du siècle, lorsqu'il a trouvé son
> "lemme" : Une fonction à deux variables, qui est continue en x1 à x2
> fixé, et continue en x2 à x1 fixé, n'est pas forcément continue.
>
> Contre-exemple dû à Johannes Thomae dans les années 1870:
>
> 2xy/(x^2+y^2). Observer la discontinuité sur la droite x=y.
>
> Pour la culture sur la notion de semi-continuité:
> http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1927__55__141_0
>
> Pour que R^n ---> R^n soit analytique, la bonne définition serait plutôt
> que les composantes (espace d'arrivée) soient analytiques (et non pas
> les applications partielles).
OK, mais il y a un théorème qui dit que f est C1 ssi ses applications
partielles le sont (en tant qu'applications à variable réelle). Je suppose
donc qu'on a aussi un théorème "f est lisse ssi ses applications partielles
le sont", ou me gourre-je?
>
> Mais pareil, ça se résoud en choisissant une bonne définition du rayon de
> convergence.
>
> J'ai pas remarqué de fautes dans la partie Théorème. Toutefois, pour moi ,
> ça ne montre que la convergence absolue en tout point. Pas l'analyticité.
>
Mais pour une série entière, ça montre bien que le rayon de convergence est
assez grand pour que l'on puisse avoir analycité, non?
Bref, je suis un peu perdu, avec ces séries entières à plusieurs variables.
Y aurait-il une bonne référence sur le sujet?
news: 4219fc34$0$30059$636a15ce@news.free.fr...
>
> Voilà quelque commentaires:
>
> Au 1.3, tout d'abord f est à valeurs dans R, pas R^n.
La notion d'analycité pour une fonction à valeurs vectorielles n'a pas de
sens?
>
> Deuxièmement, la terminologie "converge absolument pour tout x" est
> critiquable :
> 1) faire abstraction du rayon de convergence, c'est le prendre infini,
> et la terminologie serait plutôt "entière".
> 2) ça ne coûte pas beaucoup plus de parler de rayon de convergence.
Il faut quand même redémontrer l'existence du rayon de convergence, etc,
dans le cas d'une série à plusieurs variables. Je voulais justement dire le
moins de choses possibles sur ce point, parce que ce n'est pas le but de mon
exposé. Au départ, je ne voulais même pas mentionner l'analycité, et je
voulais me restreindre au cas C infini. Quand j'ai vu qu'il n'était pas plus
simple de montrer la lissité que l'analycité, j'ai changé d'avis. Mais mon
but est quand même de montrer le plus simplement possible l'analycité, donc
la lissité, de l'exponentielle.
> Parler de convergence absolue pour tout x me paraît maladroit, car il
> faut parler de convergence localement uniforme pour arriver facilement à
> la continuité. Et de plus, le rayon de convergence est une notion qui
> passe facilement à la dérivée.
> 3) personnellement, je préfère, lorsque les indices n'ont pas d'ordre
> canonique, parler de "familles (normalement/uniformément) sommables".
OK. Je peux donc écrire "où la famille est normalement sommable sur les
compacts"? ça veut bien dire que la famille des valeurs absolues est majorée
sur tout compact, par une famille sommable à termes positifs indépendante de
la variable?
>
> Tu peux parler de rayon de convergence en t'intéressant à la série Somme
> des |a_alpha| |R|^|alpha| et prendre le sup de tels R pour lesquels il y
> a convergence absolue.
Tu veux dire sommabilité?
> Ca entraîne comme d'habitude la convergence
> normale sur tout compact du disque B(0,R). Ca permet alors facilement de
> prouver que les applications partielles sont encore analytiques. Mais,
> mis à part cela, ça me paraît l'approche indispensable pour prouver ne
> serait-ce que la continuité. (Peut-être pas si indispensable, mais en
> tout cas naturelle).
Je vais réfléchir à une nouvelle démonstration que les applications
partielles d'une série entière à plusieurs variables sont analytiques. Cet
embryon de démonstration tient-il la route?
On fixe toutes les variables sauf une, disons x1. On impose que sup |xi| =R, ce qu'il fallait plus ou
moins démontrer. J'ai comme l'impression que c'est un peu foireux...
>
> Troisièmement, beaucoup plus important, car ça rejoint les
> préoccupations de René Baire au début du siècle, lorsqu'il a trouvé son
> "lemme" : Une fonction à deux variables, qui est continue en x1 à x2
> fixé, et continue en x2 à x1 fixé, n'est pas forcément continue.
>
> Contre-exemple dû à Johannes Thomae dans les années 1870:
>
> 2xy/(x^2+y^2). Observer la discontinuité sur la droite x=y.
>
> Pour la culture sur la notion de semi-continuité:
> http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1927__55__141_0
>
> Pour que R^n ---> R^n soit analytique, la bonne définition serait plutôt
> que les composantes (espace d'arrivée) soient analytiques (et non pas
> les applications partielles).
OK, mais il y a un théorème qui dit que f est C1 ssi ses applications
partielles le sont (en tant qu'applications à variable réelle). Je suppose
donc qu'on a aussi un théorème "f est lisse ssi ses applications partielles
le sont", ou me gourre-je?
>
> Mais pareil, ça se résoud en choisissant une bonne définition du rayon de
> convergence.
>
> J'ai pas remarqué de fautes dans la partie Théorème. Toutefois, pour moi ,
> ça ne montre que la convergence absolue en tout point. Pas l'analyticité.
>
Mais pour une série entière, ça montre bien que le rayon de convergence est
assez grand pour que l'on puisse avoir analycité, non?
Bref, je suis un peu perdu, avec ces séries entières à plusieurs variables.
Y aurait-il une bonne référence sur le sujet?
Re: série entière dans Mn(C)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:20
Cyberchand wrote:
> "Guillaume Yziquel" a écrit dans le message de
> news: 4219fc34$0$30059$636a15ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>Voilà quelque commentaires:
>>
>>Au 1.3, tout d'abord f est à valeurs dans R, pas R^n.
>
> La notion d'analycité pour une fonction à valeurs vectorielles n'a pas de
> sens?[/color]
Si. Mais la bonne définition, c'est, (me semble-t-il) que toutes les
composantes (pas les applications partielles) sont analytiques.
La où il y a une confusion, me semble-t-il, c'est que, dans ta tête,
R^n, c'est Mn(C) (bref on se comprend), et ce faisant c'est une algèbre.
Il est donc légitime de parler de x^n. Alors que sinon, multiplier deux
vecteurs, c'est toujours un peu taquin (en tout cas pas très canonique).
De plus, dans Mn(C), on a bien ||ab|| >Deuxièmement, la terminologie "converge absolument pour tout x" est
>>critiquable :
>>1) faire abstraction du rayon de convergence, c'est le prendre infini,
>>et la terminologie serait plutôt "entière".
>>2) ça ne coûte pas beaucoup plus de parler de rayon de convergence.[/color]
>
> Il faut quand même redémontrer l'existence du rayon de convergence, etc,
> dans le cas d'une série à plusieurs variables. Je voulais justement dire le
> moins de choses possibles sur ce point, parce que ce n'est pas le but de mon
> exposé. Au départ, je ne voulais même pas mentionner l'analycité, et je
> voulais me restreindre au cas C infini. Quand j'ai vu qu'il n'était pas plus
> simple de montrer la lissité que l'analycité, j'ai changé d'avis. Mais mon
> but est quand même de montrer le plus simplement possible l'analycité, donc
> la lissité, de l'exponentielle.[/color]
Certes...
[color=green]
>>Parler de convergence absolue pour tout x me paraît maladroit, car il
>>faut parler de convergence localement uniforme pour arriver facilement à
>>la continuité. Et de plus, le rayon de convergence est une notion qui
>>passe facilement à la dérivée.
>>3) personnellement, je préfère, lorsque les indices n'ont pas d'ordre
>>canonique, parler de "familles (normalement/uniformément) sommables".
>
> OK. Je peux donc écrire "où la famille est normalement sommable sur les
> compacts"? ça veut bien dire que la famille des valeurs absolues est majorée
> sur tout compact, par une famille sommable à termes positifs indépendante de
> la variable?[/color]
Une famille de termes positifs est sommable ssi il existe M majorant
toutes les sommes finies.
Dire qu'une famille de fonctions est normalement sommable, ca signifie
que la famille des normes ||.||infini des ces fonctions est une famille
sommable.
En particulier, ça entraine la continuité de la somme pourvu que les
termes soient des fonctions continues. (Même démo, à deux chouillas
près, que limite uniforme de fonctions continues est continue).
[color=green]
>>Tu peux parler de rayon de convergence en t'intéressant à la série Somme
>>des |a_alpha| |R|^|alpha| et prendre le sup de tels R pour lesquels il y
>>a convergence absolue.
>
> Tu veux dire sommabilité?[/color]
Voui... c'est plus joli...
Mais là, on a un ordre canonique, car on a regroupé tout les alpha selon
leurs |alpha|. Donc, il me paraît alors naturel de parler de convergence
absolue.
Mais bon, c'est deux faces d'une même chose. (un niveau élémentaire, et
un niveau plus casse-pieds...)
[color=green]
>>Ca entraîne comme d'habitude la convergence
>>normale sur tout compact du disque B(0,R). Ca permet alors facilement de
>>prouver que les applications partielles sont encore analytiques. Mais,
>>mis à part cela, ça me paraît l'approche indispensable pour prouver ne
>>serait-ce que la continuité. (Peut-être pas si indispensable, mais en
>>tout cas naturelle).
>
> Je vais réfléchir à une nouvelle démonstration que les applications
> partielles d'une série entière à plusieurs variables sont analytiques. Cet
> embryon de démonstration tient-il la route?
> On fixe toutes les variables sauf une, disons x1. On impose que sup |xi| de fixer toutes les variables sauf une a permis de passer d'une famille
> indexée par les n-uplets, à une famille indexée par alpha1 \in \N, donc à
> une série toute bête, qui est d'ailleurs une série entière, si je ne
> m'abuse). De plus, cette série entière converge absolument pour tous les
> |x1| cette série entière a un rayon de convergence >=R, ce qu'il fallait plus ou
> moins démontrer. J'ai comme l'impression que c'est un peu foireux...[/color]
Ca m'a l'air de coller dans les grandes lignes.
[color=green]
>>Troisièmement, beaucoup plus important, car ça rejoint les
>>préoccupations de René Baire au début du siècle, lorsqu'il a trouvé son
>>"lemme" : Une fonction à deux variables, qui est continue en x1 à x2
>>fixé, et continue en x2 à x1 fixé, n'est pas forcément continue.
>>
>>Contre-exemple dû à Johannes Thomae dans les années 1870:
>>
>>2xy/(x^2+y^2). Observer la discontinuité sur la droite x=y.
>>
>>Pour la culture sur la notion de semi-continuité:
>>http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1927__55__141_0
>>
>>Pour que R^n ---> R^n soit analytique, la bonne définition serait plutôt
>>que les composantes (espace d'arrivée) soient analytiques (et non pas
>>les applications partielles).
>
> OK, mais il y a un théorème qui dit que f est C1 ssi ses applications
> partielles le sont (en tant qu'applications à variable réelle). Je suppose
> donc qu'on a aussi un théorème "f est lisse ssi ses applications partielles
> le sont", ou me gourre-je?[/color]
Ouh là là. C'est loin la taupe...
f(x,y)=xy*sin(2/(x^2+y^2)
Quand tu fixe y, ta fonction en x est C1. Pareil en inversant les variables.
Par contre, quand tu suit la diagonale x=y
x^2sin(1/x^2), puis dérivé, 2xsin(1/x^2)-2(1/x)cos(1/x^2). Pas continu en 0.
Donc ce que tu as dit n'est pas vrai. Ce qui est vrai, par contre, c'est
que quand les dérivées partielles sont des fonctions continues de R^2
dans R, alors il y a classe C1.
Mais c'est toute la différence qu'il y a entre être continue le long de
toute droite, et être continue sur tout l'espace (on parle des dérivées
partielles).
[color=green]
>>Mais pareil, ça se résoud en choisissant une bonne définition du rayon de
>>convergence.
>>
>>J'ai pas remarqué de fautes dans la partie Théorème. Toutefois, pour moi ,
>>ça ne montre que la convergence absolue en tout point. Pas l'analyticité.
>
> Mais pour une série entière, ça montre bien que le rayon de convergence est
> assez grand pour que l'on puisse avoir analycité, non?[/color]
C'est en effet ça qu'il faut montrer. Oui, tu as raison. Je me suis un
peu emballé. Je vais te proposer un pdf.
> Bref, je suis un peu perdu, avec ces séries entières à plusieurs variables.
> Y aurait-il une bonne référence sur le sujet?
Pas que je sache. Monsier Henkin faisant un cours brutal en maîtrise à
Paris VI, je crois. Ah si, il y aussi un cours de monsieur Cartan
"fonctions d'une ou plusieurs variables complexes" (assez vieux,
peut-être épuisé. La couverture du mien est toute jaunie et craquelée).
> "Guillaume Yziquel" a écrit dans le message de
> news: 4219fc34$0$30059$636a15ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>Voilà quelque commentaires:
>>
>>Au 1.3, tout d'abord f est à valeurs dans R, pas R^n.
>
> La notion d'analycité pour une fonction à valeurs vectorielles n'a pas de
> sens?[/color]
Si. Mais la bonne définition, c'est, (me semble-t-il) que toutes les
composantes (pas les applications partielles) sont analytiques.
La où il y a une confusion, me semble-t-il, c'est que, dans ta tête,
R^n, c'est Mn(C) (bref on se comprend), et ce faisant c'est une algèbre.
Il est donc légitime de parler de x^n. Alors que sinon, multiplier deux
vecteurs, c'est toujours un peu taquin (en tout cas pas très canonique).
De plus, dans Mn(C), on a bien ||ab|| >Deuxièmement, la terminologie "converge absolument pour tout x" est
>>critiquable :
>>1) faire abstraction du rayon de convergence, c'est le prendre infini,
>>et la terminologie serait plutôt "entière".
>>2) ça ne coûte pas beaucoup plus de parler de rayon de convergence.[/color]
>
> Il faut quand même redémontrer l'existence du rayon de convergence, etc,
> dans le cas d'une série à plusieurs variables. Je voulais justement dire le
> moins de choses possibles sur ce point, parce que ce n'est pas le but de mon
> exposé. Au départ, je ne voulais même pas mentionner l'analycité, et je
> voulais me restreindre au cas C infini. Quand j'ai vu qu'il n'était pas plus
> simple de montrer la lissité que l'analycité, j'ai changé d'avis. Mais mon
> but est quand même de montrer le plus simplement possible l'analycité, donc
> la lissité, de l'exponentielle.[/color]
Certes...
[color=green]
>>Parler de convergence absolue pour tout x me paraît maladroit, car il
>>faut parler de convergence localement uniforme pour arriver facilement à
>>la continuité. Et de plus, le rayon de convergence est une notion qui
>>passe facilement à la dérivée.
>>3) personnellement, je préfère, lorsque les indices n'ont pas d'ordre
>>canonique, parler de "familles (normalement/uniformément) sommables".
>
> OK. Je peux donc écrire "où la famille est normalement sommable sur les
> compacts"? ça veut bien dire que la famille des valeurs absolues est majorée
> sur tout compact, par une famille sommable à termes positifs indépendante de
> la variable?[/color]
Une famille de termes positifs est sommable ssi il existe M majorant
toutes les sommes finies.
Dire qu'une famille de fonctions est normalement sommable, ca signifie
que la famille des normes ||.||infini des ces fonctions est une famille
sommable.
En particulier, ça entraine la continuité de la somme pourvu que les
termes soient des fonctions continues. (Même démo, à deux chouillas
près, que limite uniforme de fonctions continues est continue).
[color=green]
>>Tu peux parler de rayon de convergence en t'intéressant à la série Somme
>>des |a_alpha| |R|^|alpha| et prendre le sup de tels R pour lesquels il y
>>a convergence absolue.
>
> Tu veux dire sommabilité?[/color]
Voui... c'est plus joli...
Mais là, on a un ordre canonique, car on a regroupé tout les alpha selon
leurs |alpha|. Donc, il me paraît alors naturel de parler de convergence
absolue.
Mais bon, c'est deux faces d'une même chose. (un niveau élémentaire, et
un niveau plus casse-pieds...)
[color=green]
>>Ca entraîne comme d'habitude la convergence
>>normale sur tout compact du disque B(0,R). Ca permet alors facilement de
>>prouver que les applications partielles sont encore analytiques. Mais,
>>mis à part cela, ça me paraît l'approche indispensable pour prouver ne
>>serait-ce que la continuité. (Peut-être pas si indispensable, mais en
>>tout cas naturelle).
>
> Je vais réfléchir à une nouvelle démonstration que les applications
> partielles d'une série entière à plusieurs variables sont analytiques. Cet
> embryon de démonstration tient-il la route?
> On fixe toutes les variables sauf une, disons x1. On impose que sup |xi| de fixer toutes les variables sauf une a permis de passer d'une famille
> indexée par les n-uplets, à une famille indexée par alpha1 \in \N, donc à
> une série toute bête, qui est d'ailleurs une série entière, si je ne
> m'abuse). De plus, cette série entière converge absolument pour tous les
> |x1| cette série entière a un rayon de convergence >=R, ce qu'il fallait plus ou
> moins démontrer. J'ai comme l'impression que c'est un peu foireux...[/color]
Ca m'a l'air de coller dans les grandes lignes.
[color=green]
>>Troisièmement, beaucoup plus important, car ça rejoint les
>>préoccupations de René Baire au début du siècle, lorsqu'il a trouvé son
>>"lemme" : Une fonction à deux variables, qui est continue en x1 à x2
>>fixé, et continue en x2 à x1 fixé, n'est pas forcément continue.
>>
>>Contre-exemple dû à Johannes Thomae dans les années 1870:
>>
>>2xy/(x^2+y^2). Observer la discontinuité sur la droite x=y.
>>
>>Pour la culture sur la notion de semi-continuité:
>>http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1927__55__141_0
>>
>>Pour que R^n ---> R^n soit analytique, la bonne définition serait plutôt
>>que les composantes (espace d'arrivée) soient analytiques (et non pas
>>les applications partielles).
>
> OK, mais il y a un théorème qui dit que f est C1 ssi ses applications
> partielles le sont (en tant qu'applications à variable réelle). Je suppose
> donc qu'on a aussi un théorème "f est lisse ssi ses applications partielles
> le sont", ou me gourre-je?[/color]
Ouh là là. C'est loin la taupe...
f(x,y)=xy*sin(2/(x^2+y^2)
Quand tu fixe y, ta fonction en x est C1. Pareil en inversant les variables.
Par contre, quand tu suit la diagonale x=y
x^2sin(1/x^2), puis dérivé, 2xsin(1/x^2)-2(1/x)cos(1/x^2). Pas continu en 0.
Donc ce que tu as dit n'est pas vrai. Ce qui est vrai, par contre, c'est
que quand les dérivées partielles sont des fonctions continues de R^2
dans R, alors il y a classe C1.
Mais c'est toute la différence qu'il y a entre être continue le long de
toute droite, et être continue sur tout l'espace (on parle des dérivées
partielles).
[color=green]
>>Mais pareil, ça se résoud en choisissant une bonne définition du rayon de
>>convergence.
>>
>>J'ai pas remarqué de fautes dans la partie Théorème. Toutefois, pour moi ,
>>ça ne montre que la convergence absolue en tout point. Pas l'analyticité.
>
> Mais pour une série entière, ça montre bien que le rayon de convergence est
> assez grand pour que l'on puisse avoir analycité, non?[/color]
C'est en effet ça qu'il faut montrer. Oui, tu as raison. Je me suis un
peu emballé. Je vais te proposer un pdf.
> Bref, je suis un peu perdu, avec ces séries entières à plusieurs variables.
> Y aurait-il une bonne référence sur le sujet?
Pas que je sache. Monsier Henkin faisant un cours brutal en maîtrise à
Paris VI, je crois. Ah si, il y aussi un cours de monsieur Cartan
"fonctions d'une ou plusieurs variables complexes" (assez vieux,
peut-être épuisé. La couverture du mien est toute jaunie et craquelée).
Re: série entière dans Mn(C)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:20
"Guillaume Yziquel" a écrit dans le message de
news: 421b26a0$0$10749$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> OK, mais il y a un théorème qui dit que f est C1 ssi ses applications
>> partielles le sont (en tant qu'applications à variable réelle). Je
>> suppose donc qu'on a aussi un théorème "f est lisse ssi ses applications
>> partielles le sont", ou me gourre-je?
>
> Ouh là là. C'est loin la taupe...
>
> f(x,y)=xy*sin(2/(x^2+y^2)
>
> Quand tu fixe y, ta fonction en x est C1. Pareil en inversant les
> variables.
>
> Par contre, quand tu suit la diagonale x=y
>
> x^2sin(1/x^2), puis dérivé, 2xsin(1/x^2)-2(1/x)cos(1/x^2). Pas continu en
> 0.
>
> Donc ce que tu as dit n'est pas vrai. Ce qui est vrai, par contre, c'est
> que quand les dérivées partielles sont des fonctions continues de R^2 dans
> R, alors il y a classe C1.[/color]
Aie... je crois que je confond la dérivée partielle, et la dérivée de
l'application partielle...
>
> Mais c'est toute la différence qu'il y a entre être continue le long de
> toute droite, et être continue sur tout l'espace (on parle des dérivées
> partielles).
>[color=green][color=darkred]
>>>Mais pareil, ça se résoud en choisissant une bonne définition du rayon de
>>>convergence.
>>>
>>>J'ai pas remarqué de fautes dans la partie Théorème. Toutefois, pour moi
>>>, ça ne montre que la convergence absolue en tout point. Pas
>>>l'analyticité.
>>
>> Mais pour une série entière, ça montre bien que le rayon de convergence
>> est assez grand pour que l'on puisse avoir analycité, non?[/color]
>
> C'est en effet ça qu'il faut montrer. Oui, tu as raison. Je me suis un peu
> emballé. Je vais te proposer un pdf.[/color]
Merci. De mon côté, je vais réfléchir à adapter la démonstration de
Lafontaine avec la formule de Cauchy, pour pouvoir tout démontrer avec les
outils de taupe. Je mettrais en ligne un pdf (ou un ps si tu préferes) quand
ce sera fait.
>[color=green]
>> Bref, je suis un peu perdu, avec ces séries entières à plusieurs
>> variables. Y aurait-il une bonne référence sur le sujet?
>
> Pas que je sache. Monsier Henkin faisant un cours brutal en maîtrise à
> Paris VI, je crois. Ah si, il y aussi un cours de monsieur Cartan
> "fonctions d'une ou plusieurs variables complexes" (assez vieux, peut-être
> épuisé. La couverture du mien est toute jaunie et craquelée).[/color]
news: 421b26a0$0$10749$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> OK, mais il y a un théorème qui dit que f est C1 ssi ses applications
>> partielles le sont (en tant qu'applications à variable réelle). Je
>> suppose donc qu'on a aussi un théorème "f est lisse ssi ses applications
>> partielles le sont", ou me gourre-je?
>
> Ouh là là. C'est loin la taupe...
>
> f(x,y)=xy*sin(2/(x^2+y^2)
>
> Quand tu fixe y, ta fonction en x est C1. Pareil en inversant les
> variables.
>
> Par contre, quand tu suit la diagonale x=y
>
> x^2sin(1/x^2), puis dérivé, 2xsin(1/x^2)-2(1/x)cos(1/x^2). Pas continu en
> 0.
>
> Donc ce que tu as dit n'est pas vrai. Ce qui est vrai, par contre, c'est
> que quand les dérivées partielles sont des fonctions continues de R^2 dans
> R, alors il y a classe C1.[/color]
Aie... je crois que je confond la dérivée partielle, et la dérivée de
l'application partielle...
>
> Mais c'est toute la différence qu'il y a entre être continue le long de
> toute droite, et être continue sur tout l'espace (on parle des dérivées
> partielles).
>[color=green][color=darkred]
>>>Mais pareil, ça se résoud en choisissant une bonne définition du rayon de
>>>convergence.
>>>
>>>J'ai pas remarqué de fautes dans la partie Théorème. Toutefois, pour moi
>>>, ça ne montre que la convergence absolue en tout point. Pas
>>>l'analyticité.
>>
>> Mais pour une série entière, ça montre bien que le rayon de convergence
>> est assez grand pour que l'on puisse avoir analycité, non?[/color]
>
> C'est en effet ça qu'il faut montrer. Oui, tu as raison. Je me suis un peu
> emballé. Je vais te proposer un pdf.[/color]
Merci. De mon côté, je vais réfléchir à adapter la démonstration de
Lafontaine avec la formule de Cauchy, pour pouvoir tout démontrer avec les
outils de taupe. Je mettrais en ligne un pdf (ou un ps si tu préferes) quand
ce sera fait.
>[color=green]
>> Bref, je suis un peu perdu, avec ces séries entières à plusieurs
>> variables. Y aurait-il une bonne référence sur le sujet?
>
> Pas que je sache. Monsier Henkin faisant un cours brutal en maîtrise à
> Paris VI, je crois. Ah si, il y aussi un cours de monsieur Cartan
> "fonctions d'une ou plusieurs variables complexes" (assez vieux, peut-être
> épuisé. La couverture du mien est toute jaunie et craquelée).[/color]
Re: série entière dans Mn(C)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:20
"Cyberchand" a écrit dans le message de news:
421b659b$0$19333$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Merci. De mon côté, je vais réfléchir à adapter la démonstration de
> Lafontaine avec la formule de Cauchy, pour pouvoir tout démontrer avec les
> outils de taupe. Je mettrais en ligne un pdf (ou un ps si tu préferes)
> quand ce sera fait.
http://www2.votre-enfant.com/maths.ps
Avis bienvenus! il ne me reste plus qu'à montrer la densité des matrices
diagonalisables. J'espère que ce n'est pas trop compliqué, et je vais y
réflechir.
421b659b$0$19333$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Merci. De mon côté, je vais réfléchir à adapter la démonstration de
> Lafontaine avec la formule de Cauchy, pour pouvoir tout démontrer avec les
> outils de taupe. Je mettrais en ligne un pdf (ou un ps si tu préferes)
> quand ce sera fait.
http://www2.votre-enfant.com/maths.ps
Avis bienvenus! il ne me reste plus qu'à montrer la densité des matrices
diagonalisables. J'espère que ce n'est pas trop compliqué, et je vais y
réflechir.
Re: série entière dans Mn(C)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:20
"Cyberchand" a écrit dans le message de news:
421b9124$0$11687$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "Cyberchand" a écrit dans le message de news:
> 421b659b$0$19333$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> Merci. De mon côté, je vais réfléchir à adapter la démonstration de
>> Lafontaine avec la formule de Cauchy, pour pouvoir tout démontrer avec
>> les outils de taupe. Je mettrais en ligne un pdf (ou un ps si tu
>> préferes) quand ce sera fait.
>
> http://www2.votre-enfant.com/maths.ps
>
> Avis bienvenus! il ne me reste plus qu'à montrer la densité des matrices
> diagonalisables. J'espère que ce n'est pas trop compliqué, et je vais y
> réflechir.[/color]
J'ai trouvé (c'est vrai dans C), il suffit de trigonaliser et de bouger un
peu les valeurs propres...
421b9124$0$11687$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "Cyberchand" a écrit dans le message de news:
> 421b659b$0$19333$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> Merci. De mon côté, je vais réfléchir à adapter la démonstration de
>> Lafontaine avec la formule de Cauchy, pour pouvoir tout démontrer avec
>> les outils de taupe. Je mettrais en ligne un pdf (ou un ps si tu
>> préferes) quand ce sera fait.
>
> http://www2.votre-enfant.com/maths.ps
>
> Avis bienvenus! il ne me reste plus qu'à montrer la densité des matrices
> diagonalisables. J'espère que ce n'est pas trop compliqué, et je vais y
> réflechir.[/color]
J'ai trouvé (c'est vrai dans C), il suffit de trigonaliser et de bouger un
peu les valeurs propres...
Re: série entière dans Mn(C)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:20
Cyberchand wrote:
> Aie... je crois que je confond la dérivée partielle, et la dérivée de
> l'application partielle...
>[color=green]
>>C'est en effet ça qu'il faut montrer. Oui, tu as raison. Je me suis un peu
>>emballé. Je vais te proposer un pdf.[/color]
Au fait, quelle est ton adresse électronique, que je t'envoie ce que
j'ai fait ...
> Merci. De mon côté, je vais réfléchir à adapter la démonstration de
> Lafontaine avec la formule de Cauchy, pour pouvoir tout démontrer avec les
> outils de taupe. Je mettrais en ligne un pdf (ou un ps si tu préferes) quand
> ce sera fait.
Ca devrait être jouable.
[color=green]
>>Paris VI, je crois. Ah si, il y aussi un cours de monsieur Cartan
>>"fonctions d'une ou plusieurs variables complexes" (assez vieux, peut-être
>>épuisé. La couverture du mien est toute jaunie et craquelée).[/color]
Jettes-y un coup d'oeil si tu peux.
Guillaume Yziquel
> Aie... je crois que je confond la dérivée partielle, et la dérivée de
> l'application partielle...
>[color=green]
>>C'est en effet ça qu'il faut montrer. Oui, tu as raison. Je me suis un peu
>>emballé. Je vais te proposer un pdf.[/color]
Au fait, quelle est ton adresse électronique, que je t'envoie ce que
j'ai fait ...
> Merci. De mon côté, je vais réfléchir à adapter la démonstration de
> Lafontaine avec la formule de Cauchy, pour pouvoir tout démontrer avec les
> outils de taupe. Je mettrais en ligne un pdf (ou un ps si tu préferes) quand
> ce sera fait.
Ca devrait être jouable.
[color=green]
>>Paris VI, je crois. Ah si, il y aussi un cours de monsieur Cartan
>>"fonctions d'une ou plusieurs variables complexes" (assez vieux, peut-être
>>épuisé. La couverture du mien est toute jaunie et craquelée).[/color]
Jettes-y un coup d'oeil si tu peux.
Guillaume Yziquel
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