Série entière dans Mn(C)

[Anonyme]

Bonjour,
j'essaie de montrer qu'une série entière somme de a_n X^n où X est une
matrice, se comporte comme une série complexe (lisse dans le disque ouvert
de convergence) (j'espère au moins que ce résultat n'est pas faux!!)
(démonstration que je n'ai pas trouvé sur internet ou dans les bouquins).
En fait j'ai un petit problème avec la différentielle de X^n. Il me semble
que c'est H->X^(n-1)H+X^(n-2) H X +..., or "j'aimerais bien" que ce soit n
X^(n-1), le problème étant que H et X ne commutant pas. Ai-je loupé quelque
chose?
Merci

[Anonyme]

> j'essaie de montrer qu'une série entière somme de a_n X^n où X est une
> matrice, se comporte comme une série complexe (lisse dans le disque ouvert
> de convergence) (j'espère au moins que ce résultat n'est pas faux!!)
> (démonstration que je n'ai pas trouvé sur internet ou dans les bouquins).
> En fait j'ai un petit problème avec la différentielle de X^n. Il me semble
> que c'est H->X^(n-1)H+X^(n-2) H X +..., or "j'aimerais bien" que ce soit n
> X^(n-1), le problème étant que H et X ne commutant pas. Ai-je loupé
> quelque chose?

Non, en effet, il y a de gros problèmes avec les différentielles dans le cas
des matrices.
J'ai déjà vu ce genre de manipulations (dans le livre de K-théorie d'Atiyah)
et elles ne m'avaient à l'époque pas convaincues.

--
Mû

[Anonyme]

On Tue, 15 Feb 2005 20:14:00 +0100, "Cyberchand"
wrote:

>Bonjour,
>j'essaie de montrer qu'une série entière somme de a_n X^n où X est une
>matrice, se comporte comme une série complexe (lisse dans le disque ouvert
>de convergence) (j'espère au moins que ce résultat n'est pas faux!!)
que signifie lisse ?
Merci

[Anonyme]

a écrit dans le message de news:
421261e4.10237169@news.wanadoo.fr...
> On Tue, 15 Feb 2005 20:14:00 +0100, "Cyberchand"
> wrote:
>[color=green]
>>Bonjour,
>>j'essaie de montrer qu'une série entière somme de a_n X^n où X est une
>>matrice, se comporte comme une série complexe (lisse dans le disque ouvert
>>de convergence) (j'espère au moins que ce résultat n'est pas faux!!)[/color]

> que signifie lisse ?
> Merci

C'est un synonyme de "classe C infini", que j'ai trouvé dans le livre de
Lafontaine, par exemple. Je crois que ce terme est surtout utilisé par les
anglophones (smooth)...

[Anonyme]

"µ" a écrit dans le message de news:
42124db4$0$19421$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> j'essaie de montrer qu'une série entière somme de a_n X^n où X est une
>> matrice, se comporte comme une série complexe (lisse dans le disque
>> ouvert de convergence) (j'espère au moins que ce résultat n'est pas
>> faux!!) (démonstration que je n'ai pas trouvé sur internet ou dans les
>> bouquins).
>> En fait j'ai un petit problème avec la différentielle de X^n. Il me
>> semble que c'est H->X^(n-1)H+X^(n-2) H X +..., or "j'aimerais bien" que
>> ce soit n X^(n-1), le problème étant que H et X ne commutant pas. Ai-je
>> loupé quelque chose?
>
> Non, en effet, il y a de gros problèmes avec les différentielles dans le
> cas des matrices.[/color]

Flûte! Mais alors est-ce que le théorème que j'énonce est-il vrai dans ce
cas général? Parce que je sais qu'il est au moins vrai pour l'exponentielle
et le log, je vois mal pourquoi ce serait faux pour une série entière
quelconque...

> J'ai déjà vu ce genre de manipulations (dans le livre de K-théorie
> d'Atiyah) et elles ne m'avaient à l'époque pas convaincues.
>
> --
> Mû
>

[Anonyme]

>> que signifie lisse ?[color=green]
>> Merci
>
> C'est un synonyme de "classe C infini", que j'ai trouvé dans le livre de
> Lafontaine, par exemple. Je crois que ce terme est surtout utilisé par les
> anglophones (smooth)...[/color]

Lisse s'emploie aussi en français, en géométrie algébrique, car la notion
"naturelle" de régularité d'une sous-variété (avec des jacobiens qui ne
s'annullent pas) se généralise mais n'est pas forcément la notion la plus
intéressante.
Enfin tout ça c'est vieux pour moi, si quelqu'un pouvait confirmer...

--
Mû

[Anonyme]

>> Non, en effet, il y a de gros problèmes avec les différentielles dans le[color=green]
>> cas des matrices.
>
> Flûte! Mais alors est-ce que le théorème que j'énonce est-il vrai dans ce
> cas général? Parce que je sais qu'il est au moins vrai pour
> l'exponentielle et le log, je vois mal pourquoi ce serait faux pour une
> série entière quelconque...
>
>> J'ai déjà vu ce genre de manipulations (dans le livre de K-théorie
>> d'Atiyah) et elles ne m'avaient à l'époque pas convaincues.[/color]

Au temps pour moi: après vérification, il considère des polynômes d'une
variable complexe à coefficients matriciels (ou une matrice à coefficients
polynômiaux...), ce qui n'a rien à voir. Désolé.

--
Mû

[Anonyme]

"µ" a écrit dans le message de news:
42127a5c$0$6590$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green][color=darkred]
>>> que signifie lisse ?
>>> Merci
>>
>> C'est un synonyme de "classe C infini", que j'ai trouvé dans le livre de
>> Lafontaine, par exemple. Je crois que ce terme est surtout utilisé par
>> les anglophones (smooth)...[/color]
>
> Lisse s'emploie aussi en français, en géométrie algébrique, car la notion
> "naturelle" de régularité d'une sous-variété (avec des jacobiens qui ne
> s'annullent pas) se généralise mais n'est pas forcément la notion la plus
> intéressante.
> Enfin tout ça c'est vieux pour moi, si quelqu'un pouvait confirmer...
>[/color]

C'est ce que dit Lafontaine, ce mot n'est plus utilisé qu'en géométrie
algébrique ou presque, alors que c'est une terminologie plutôt jolie (c'est
toujours plus poétique que "de classe C infini"...)

[Anonyme]

> C'est ce que dit Lafontaine, ce mot n'est plus utilisé qu'en géométrie
> algébrique ou presque, alors que c'est une terminologie plutôt jolie
> (c'est toujours plus poétique que "de classe C infini"...)

Je dirai surtout que ce qu'il y a de bien dans le "smooth" anglo-saxon c'est
qu'on ne demande pas forcément "de classe C infini", mais "de classe C k
avec k suffisamment grand, voire infini", ce qui a l'avantage d'être concis.

--
Mû

[Anonyme]

"µ" wrote in message news:...[color=green][color=darkred]
> >> Non, en effet, il y a de gros problèmes avec les différentielles dans le
> >> cas des matrices.
> >
> > Flûte! Mais alors est-ce que le théorème que j'énonce est-il vrai dans ce
> > cas général? Parce que je sais qu'il est au moins vrai pour
> > l'exponentielle et le log, je vois mal pourquoi ce serait faux pour une
> > série entière quelconque...
> >
> >> J'ai déjà vu ce genre de manipulations (dans le livre de K-théorie
> >> d'Atiyah) et elles ne m'avaient à l'époque pas convaincues.[/color]
>
> Au temps pour moi: après vérification, il considère des polynômes d'une
> variable complexe à coefficients matriciels (ou une matrice à coefficients
> polynômiaux...), ce qui n'a rien à voir. Désolé.[/color]


D'accord. Après réflexion, j'ai de plus en plus de doutes sur le
résultat que j'essaie de démontrer. Je ne trouve aucune référence sur
le sujet sur google, ou dans les livres. Il faut dire que je ne sais
pas trop ou chercher. quelqu'un aurait-il un embryon de début de
réponse, ou une référence sur le sujet?
Merci

[Anonyme]

Cyberchand wrote:
> Bonjour,
> j'essaie de montrer qu'une série entière somme de a_n X^n où X est une
> matrice, se comporte comme une série complexe (lisse dans le disque ouvert
> de convergence) (j'espère au moins que ce résultat n'est pas faux!!)
> (démonstration que je n'ai pas trouvé sur internet ou dans les bouquins).
> En fait j'ai un petit problème avec la différentielle de X^n. Il me semble
> que c'est H->X^(n-1)H+X^(n-2) H X +..., or "j'aimerais bien" que ce soit n
> X^(n-1), le problème étant que H et X ne commutant pas. Ai-je loupé quelque
> chose?
> Merci
>
>

Tu n'a rien loupé. Le fait que ça ne commute pas se traduit
effectivement avec une différentielle comme tu ne l'aimes pas.
Mais c'est pas grave, la vie continue...

H ---> X^(k-1)H + X^(k-2)HX + ... + XHX^(k-2) + HX^(n-1)

reste bien une application linéaire de Mn(C) dans Mn(C). Une bonne
vieille differentielle bien de chez nous. En effet, bien que Mn(C) soit
muni d'une structure d'algèbre, nous le considérons avant tout, comme un
R-espace vectoriel.

En ce qui concerne l'aspect théorique, pour les différentielles d'ordre
je sais pas combien, et plus généralement les variétés différentiables,
je te conseille le livre de Mr. Aubin (en anglais) "A Course in
Differential Geometry". Ou, tout aussi abscons, mais plus pédagogique,
le livre de Phau Mau Quam (en français). J'ai oublié son titre, mais il
y a sûrement le terme géometrie différentielle dedans. Tu trouveras
peut-être aussi ton bonheur dans le livre de Mneimné "Introduction aux
groupes de Lie" ou "aux groupes classiques". Il y parle de la
différentielle de l'exponentielle. Il est plus élémentaire et parle pas
tout à fait de la même chose, mais il vaut le coup.

Soit R le rayon de convergence de ta série entière.

Considère la série entière S(X+H) à deux variables X et H, mais où il
n'y a pas commutation entre X et H !

Quand on dit qu'il y a convergence normale sur tout compact, le truc à
retenir, c'est qu'en fait, il n'y a pas d'ordre de sommation, qu'on peut
faire des sommations par paquets, même si les paquets sont infinis ...
On parle souvent des familles sommables. (Par exemple, un exercice plus
ou moins classique de sup/spé nous assure qu'on peut sommer une série
absolument convergente, sans se soucier du tout de l'ordre de sommation).

Puisque S converge normalement sur tout compact inclus dans la boule de
rayon R, la série entière (sans commutation) S(X+H) converge normalement
sur tout compact inclus dans l'ouvert

{ (X,H) / ||X||+||H|| DS_X(H) est la somme d'une famille uniformément
sommable de fonctions continues, (X,H) ---> DS_X(H) est continue.
En particulier X ---> DS_X est continue. En effet :

Supposons que X_n tende vers X dans le voisinage V de X0. Alors la norme
infinie de DS_X_n-DS_X sur le compact B(0,h) doit tendre vers 0 car
sinon, on pourrait trouver sur suite (H_n) dans B(0,h) telle que

DS_X_n(H_n) - DS_X(H_n) ne tende pas vers 0

Or B(0,h) est compact. Donc on peut extraire une sous-suite de (H_n) qui
converge, vers un certain H. Et là, on obtiendrai une contradiction avec
la continuité de (X,H) ----> DS_X(H).

Bref X ----> DS_X est continue. Donc S est de classe C1.

Pour de classe C^k, c'est la même chose...
Au lieu d'introduire uniquement H, il faut introduire
H1, .... , H^k. H1 joue le rôle de H. H2, c'est le petit décalage qu'on
fait subir à DS_X pour obtenir DS_(X+H2), etc...

Pour la dérivée seconde on s'intéresse à S((X+H2)+H1), et on développe.

Voilà c'est bourrin, mais ça marche.

Il y a encore plus bourrin. Vérifier que les coefficient de S(X)
dépendent analytiquement (i.e. des séries entières) des coefficients de
X. Puis prouver que le rayon de convergence est non-nul. Ca devrait
aussi pouvoir faire l'affaire.

Pour des bouquins sur ce sujet précis, je ne connais pas trop. Ce qui
est fait là, c'est des séries entières sur des algèbres de Banach
non-commutatives de dimension finie.

Ce que j'ai fait ne me semble pas passer tel quel à la dimension
infinie. Je me demande néanmoins si ça passe bien. Si on travaille sur
L(E) où E est un Banach, il me semble que ça passe bien quand même. J'y
réfléchirai.

Je me demande si il y a plus simple. Suggestions bienvenues.

Guillaume Yziquel

[Anonyme]

"Guillaume Yziquel" a écrit dans le message de
news: 4213896a$0$15731$636a15ce@news.free.fr...

> Tu n'a rien loupé. Le fait que ça ne commute pas se traduit effectivement
> avec une différentielle comme tu ne l'aimes pas.
> Mais c'est pas grave, la vie continue...
>
> H ---> X^(k-1)H + X^(k-2)HX + ... + XHX^(k-2) + HX^(n-1)
>
> reste bien une application linéaire de Mn(C) dans Mn(C). Une bonne vieille
> differentielle bien de chez nous. En effet, bien que Mn(C) soit muni d'une
> structure d'algèbre, nous le considérons avant tout, comme un R-espace
> vectoriel.
>
> En ce qui concerne l'aspect théorique, pour les différentielles d'ordre je
> sais pas combien, et plus généralement les variétés différentiables, je te
> conseille le livre de Mr. Aubin (en anglais) "A Course in Differential
> Geometry". Ou, tout aussi abscons, mais plus pédagogique, le livre de Phau
> Mau Quam (en français). J'ai oublié son titre, mais il y a sûrement le
> terme géometrie différentielle dedans. Tu trouveras peut-être aussi ton
> bonheur dans le livre de Mneimné "Introduction aux groupes de Lie" ou "aux
> groupes classiques". Il y parle de la différentielle de l'exponentielle.
> Il est plus élémentaire et parle pas tout à fait de la même chose, mais il
> vaut le coup.
>

J'ai eu accès à ce livre, et c'est vrai qu'il est pas mal, mais il ne donne
pas de démonstration du caractère lisse de l'exponentielle.

(...)
> Voilà c'est bourrin, mais ça marche.

Merci pour la réponse détaillée! J'ai lu je ne sais plus où qu'il y avait
une démonstration qui marchait par récurence. Or je n'ai pas l'impression
que celle que tu donnes passe facilement à la récurence. Je me trompe? Parce
qu'en fait, si on avait le résultat (visiblement faux ici) que la
différentielle d'une série entière est encore une série entière, ça
marcherait. Mais à cause de la non-commutativité, on ne peut plus dire ça.
Donc je ne vois pas trop comment on pourrait faire une récurence, vu la sale
tête de la différentielle...
Suggestions bienvenues ici aussi!

PS: dans le livre de Lafontaine, il y a une démonstration plus sophistiquée
utilisant la formule de Cauchy, et qui montre le résultat seulement pour
l'exponentielle. Malheureusement, je ne crois pas qu'elle s'étende à toutes
les séries entières...

[Anonyme]

Cyberchand wrote:

> J'ai eu accès à ce livre, et c'est vrai qu'il est pas mal, mais il ne donne
> pas de démonstration du caractère lisse de l'exponentielle.

Navré.

> Merci pour la réponse détaillée! J'ai lu je ne sais plus où qu'il y avait
> une démonstration qui marchait par récurence. Or je n'ai pas l'impression
> que celle que tu donnes passe facilement à la récurence. Je me trompe? Parce

Peut-être que tu te trompes. Peut-être pas. J'explique ma réponse de
normand : (ce qui est rare pour un normand).

Tout d'abord, en réflechissant un peu, ce qu'on a fait en montrant que
la cette série entière était C1, il semblerait qu'on puisse le faire (en
se prenant un peu la tête sur les notation) au cas C2, puis au cas C3,
etc. Faut se creuser la tête, mais on se creuse toujours la tête de la
même manière. Donc, il doit y avoir une récurrence.

Est-ce qu'on peut encore considérer que la différentielle est une série
entière ?

Tout d'abord, la différentielle, c'est une application L(E)--->L(L(E)).
Ou encore

L(E) X L(E) --------> L(E)
(X,H) -----> par exemple XXH+XHX+HXX

Où se trouverait l'éventuelle série entière ? Ben ça serait la série
entière en deux variables. X et H. Et on chercherait à dériver
partiellement en X, pour passer à C2. Il y a une récurrence ici, il me
semble.

Bon. Ensuite, il faut vérifier que dériver L(E)--->L(L(E)), c'est bien
la même chose que dériver partiellement L(E)XL(E) ----> L(E). Et là il y
a un petit boulot.

> qu'en fait, si on avait le résultat (visiblement faux ici) que la
> différentielle d'une série entière est encore une série entière, ça
> marcherait. Mais à cause de la non-commutativité, on ne peut plus dire ça.

Faut pas faire cette tête !
La non-commutativité, c'est juste l'occasion de généraliser un peu.

> Donc je ne vois pas trop comment on pourrait faire une récurence, vu la sale
> tête de la différentielle...

D'accord elle a des poux cette tête, mais elle est quand même bien
régulière...

Personnellement je préferre

AA+AB+BA+BB à A^2+2AB+B^22

et puis, c'est une question qui force à être rigoureux. Parler de
différentielle de manière intelligente. Ca change des formules du genre
"pour dériver x^n, tu fais tomber le n, et puisqu'il est tombé, tu
retranche 1".

Quand il c'est commutatif, on peux en effet écrire que la dérivée de
X^2, c'est 2X. Par exemple, tu prend une matrice, et le sous-anneau de
Mn(C) qu'elle engendre. La dessus, tu peux en effet écrire (X^2)'=2X.
Par ce qu'il y a commutativité. Disons que ça t'abstiens de te poser la
question de où tu met ton H.

> Suggestions bienvenues ici aussi!

Ta série entière, c'est quelque chose de L(E) (ou Mn(C)) dans L(E) (ou
Mn(C)).

Tu peux aussi montrer que chaque coefficient de la matrice d'arrivée est
un série entière en les coefficients de la matrice de départ.
(Commutatif). LE passage chiant c'est de prouver que le rayon de
convergence n'est pas trivial. Mais c'est doit être une conséquence de
quelque chose qui ressemble vaguement à la formule d'Hadamard.

Ca, ca prouve que c'est C infini en 0. Bon, ensuite, il faut faire la
même chose ailleurs qu'en 0 dans le disque de convergence. Comme être C
infini est quelque chose essentiellement local, Bingo.

> PS: dans le livre de Lafontaine, il y a une démonstration plus sophistiquée

Connais pas ce livre. C'est quoi le titre ?

> utilisant la formule de Cauchy, et qui montre le résultat seulement pour
> l'exponentielle. Malheureusement, je ne crois pas qu'elle s'étende à toutes
> les séries entières...

Je pense qu'elle s'étend effectivement. Tu devrais y regarder de plus
près, (ou en tout cas me faire part des réflexions de ce cher monsieur
Lafontaine).

En effet, classiquement dans les livres d'Analyse Complexe, c'est
souvent présenté de cette manière. Notamment pour pouver qu'"une
fonction C-dérivable est indéfinimant dérivable". Mais bon, c'est un peu
gonflées, les fonctions holomorphes : suffit que tu puisse dériver une
fois, pour que tu puisse toujours dériver, et même mieux, pour que tu
puisse la développer en série entière.

Etre développable en série entière, c'est beaucoup plus fort que d'être
de classe C infinie. Tu peux essayer montrer de manière générale
analytique ==> C infinie, dans le cas où il y a commutativité. Ca te
donneras au passage l'occasion de réfléchir à quel est l'espace dans
lequel on travaille.

J'avais pensé à cette approche. Mais alors la formule de Cauchy dans un
tel cadre, jamais vu !! (mais aimerait bien voir).

Recherche sur Internet le terme "variété analytique". Par ce que ton
résultat doit aussi être valable quand tu remplace C par R. Et là, pas
de formule de Cauchy (ou alors je suis vraiment un inculte).

Question à 2pi roubles : crois-tu que ça passe à la dimension infinie,
même en non commutatif (par exemple une série entière sur les
endomorphismes continus d'un espace de Banach). Il me semble que oui.
J'y réfléchirai si ça t'intéresse.

Guillaume Yziquel

[Anonyme]

µ wrote:[color=green][color=darkred]
>>>que signifie lisse ?
>>>Merci
>>
>>C'est un synonyme de "classe C infini", que j'ai trouvé dans le livre de
>>Lafontaine, par exemple. Je crois que ce terme est surtout utilisé par les
>>anglophones (smooth)...[/color]
>
>
> Lisse s'emploie aussi en français, en géométrie algébrique, car la notion
> "naturelle" de régularité d'une sous-variété (avec des jacobiens qui ne
> s'annullent pas) se généralise mais n'est pas forcément la notion la plus
> intéressante.
> Enfin tout ça c'est vieux pour moi, si quelqu'un pouvait confirmer...[/color]

Je confirme. Ca s'emploie effectivement, bien que je ne sache pas trop
comment. Je crois qu'il est massivement question d'algèbre extérieure.

En géométrie différentielle, l'algèbre extérieure s'emploie. A ce sujet,
le livre de Phau Mau Quam et le livre de Thierry Aubin sont éclaircissants.

En algèbre linéaire, il a l'avantage de se généraliser aux anneaux et
aux modules (espaces vectoriels sur des anneaux) même quand ils sont
très moches (sans bases par exemples).

L'algèbre extérieure est l'outil théorique idéal pour traiter
intrinsèquement des choses comme la trace, le déterminant, et les
mineurs. Donc pour des jacobiennes, c'est aussi intéressant.

[Anonyme]

Guillaume Yziquel wrote:
> Cyberchand wrote:
>[color=green]
>> qu'en fait, si on avait le résultat (visiblement faux ici) que la
>> différentielle d'une série entière est encore une série entière, ça
>> marcherait. Mais à cause de la non-commutativité, on ne peut plus dire
>> ça.
>
>
> Faut pas faire cette tête !
> La non-commutativité, c'est juste l'occasion de généraliser un peu.[/color]

En fait, tu peux même sûrement généraliser ton énoncé. On parle d'une
série entière dans Mn(C) qui est somme des a_n X^n. La raison pour cette
expression est que tu as choisi a_n un complexe et X une matrice. En
fait ton a_n correspond à une matrice, qui est diagonale. Tu peux
généraliser ça en considérant une série entière

M1+M2X+XM3+M4XX+XM5X+XXM6+M7XXX+XM8XX+XXM9X+XXXM10+...

où tes Mi sont des matrices (ou en dimension infinie, des applications
linéaires continues d'un Banach dans lui-même).

On travaille bien sur des séries entières dans des algèbres de Banach.

Guillaume Yziquel

[Anonyme]

"Guillaume Yziquel" a écrit dans
le message de news: 42167516$0$16298$636a15ce@news.free.fr...
> Tu peux aussi montrer que chaque coefficient de la matrice d'arrivée est
> un série entière en les coefficients de la matrice de départ.
> (Commutatif). LE passage chiant c'est de prouver que le rayon de
> convergence n'est pas trivial. Mais c'est doit être une conséquence de
> quelque chose qui ressemble vaguement à la formule d'Hadamard.

J'ai trouvé dans Formes quadratiques et groupes classiques de René Deheuvels
une démonstration qui montre que chaque composante de l'exponentielle est
analytique en les composantes de la matrice de départ. Cette démonstration
est assez simple et élémentaire.
J'ai pondu quelquechose, qui reprend cette preuve, avec des compléments
venant de moi seul. Je ne suis donc vraiment sûr de ce que j'écris, et une
aide extérieure serait bienvenue...
Le fichier se trouve là :
http://www2.votre-enfant.com/maths.pdf
C'est à partir de 1.3 que j'ai des doutes, d'abord sur la définition de
l'analycité (j'ai pris volontairement une définition pas du tout générale,
pour simplifier le problème : j'ai supposé que la fonction était partout
somme d'une même série entière centrée en 0) (pourquoi la série doit être
absolument convergente, et pas convergente tout court?), puis sur la preuve
qu'une fonction analytique est lisse. Enfin, la preuve de 1.4 vient du livre
cité précedemment. Ma question est : pourquoi l'absolue convergence est
nécessaire à montrer, alors qu'on sait déjà que la série est convergente
simplement.

>
> Ca, ca prouve que c'est C infini en 0. Bon, ensuite, il faut faire la même
> chose ailleurs qu'en 0 dans le disque de convergence. Comme être C infini
> est quelque chose essentiellement local, Bingo.
>[color=green]
>> PS: dans le livre de Lafontaine, il y a une démonstration plus
>> sophistiquée
>
> Connais pas ce livre. C'est quoi le titre ?[/color]

Introduction aux variétés différentielles.

>[color=green]
>> utilisant la formule de Cauchy, et qui montre le résultat seulement pour
>> l'exponentielle. Malheureusement, je ne crois pas qu'elle s'étende à
>> toutes les séries entières...
>
> Je pense qu'elle s'étend effectivement. Tu devrais y regarder de plus
> près, (ou en tout cas me faire part des réflexions de ce cher monsieur
> Lafontaine).[/color]

La formule à montrer est :
exp A = 1/(2i pi) intégrale sur le cercle C(0,r) de (zI-A)^{-1} e^z dz, pour
r le rayon spectral de A. Cette formule se démontre en utilisant la densité
des matrices diagonalisables, et du fait que si A est diagonale, cette
formule est une conséquence de la formule de Cauchy.

>
> En effet, classiquement dans les livres d'Analyse Complexe, c'est souvent
> présenté de cette manière. Notamment pour pouver qu'"une fonction
> C-dérivable est indéfinimant dérivable". Mais bon, c'est un peu gonflées,
> les fonctions holomorphes : suffit que tu puisse dériver une fois, pour
> que tu puisse toujours dériver, et même mieux, pour que tu puisse la
> développer en série entière.
>
> Etre développable en série entière, c'est beaucoup plus fort que d'être de
> classe C infinie. Tu peux essayer montrer de manière générale analytique
> ==> C infinie, dans le cas où il y a commutativité. Ca te donneras au
> passage l'occasion de réfléchir à quel est l'espace dans lequel on
> travaille.

En fait, j'avais trouvé une "preuve" (fausse, d'où les guilllemets) que la
différentielle d'une série entière est H -> (somme de (n+1) a_(n+1) A^n) H,
et j'identifiais alors les endomorphismes de matrices H->AH avec les
matrices AH, de sorte que "la différentielle d'une série entière de matrices
est la série entière dérivée de matrices"...

>
> J'avais pensé à cette approche. Mais alors la formule de Cauchy dans un
> tel cadre, jamais vu !! (mais aimerait bien voir).
>
> Recherche sur Internet le terme "variété analytique". Par ce que ton
> résultat doit aussi être valable quand tu remplace C par R. Et là, pas de
> formule de Cauchy (ou alors je suis vraiment un inculte).
>
> Question à 2pi roubles : crois-tu que ça passe à la dimension infinie,
> même en non commutatif (par exemple une série entière sur les
> endomorphismes continus d'un espace de Banach). Il me semble que oui. J'y
> réfléchirai si ça t'intéresse.

Pourquoi pas? Mais personnellement, je me contenterais dans un premier temps
du résultat pour la dimension finie, parce que je fais tout ça pour une
étude élémentaire des groupes de Lie, et je me restreins volontairement à la
dimension finie.

>
> Guillaume Yziquel

[Anonyme]

"Cyberchand" a écrit dans le message de news:
42175d16$0$1241$8fcfb975@news.wanadoo.fr...

> La formule à montrer est :
> exp A = 1/(2i pi) intégrale sur le cercle C(0,r) de (zI-A)^{-1} e^z dz,
> pour r le rayon spectral de A. Cette formule se démontre en utilisant la
> densité des matrices diagonalisables, et du fait que si A est diagonale,
> cette formule est une conséquence de la formule de Cauchy.

Il faut r> le rayon spectral.

Sinon, j'ai encore une question. On définit le logarithme comme somme d'une
série absolument convergente sur le bon ouvert de M_n(R), et on dit que la
somme de la série est continue. Après on montre que, sur les bons ouverts de
définition, on a exp(log(x))=x et inversement. Est-ce que cela suffit pour
montrer que f est lisse, ou analytique, et que exp est un difféomorphisme
entre deux ouverts, et que log est son inverse?

Merci

[Anonyme]

Cyberchand wrote:
> "Cyberchand" a écrit dans le message de news:
> 42175d16$0$1241$8fcfb975@news.wanadoo.fr...

> Sinon, j'ai encore une question. On définit le logarithme comme somme d'une
> série absolument convergente sur le bon ouvert de M_n(R), et on dit que la
> somme de la série est continue. Après on montre que, sur les bons ouverts de
> définition, on a exp(log(x))=x et inversement. Est-ce que cela suffit pour
> montrer que f est lisse, ou analytique, et que exp est un difféomorphisme
> entre deux ouverts, et que log est son inverse?

C'est suffit pour dire que, localement, exp est un difféomorphisme, de
réciproque log. Ca suffit encore pour dire que exp et log sont
"bianalytique".

D'après ce qu'on fait au début de notre discussion, ça suffit pour dire
que exp et log sont des C1-difféomorphismes réciproques.

Mais, on n'y coupe pas. Il nous faut montrer analytique ==> C infini.

[Anonyme]

Cyberchand wrote:
> "Guillaume Yziquel" a écrit dans
> le message de news: 42167516$0$16298$636a15ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>Tu peux aussi montrer que chaque coefficient de la matrice d'arrivée est
>>un série entière en les coefficients de la matrice de départ.
>>(Commutatif). LE passage chiant c'est de prouver que le rayon de
>>convergence n'est pas trivial. Mais c'est doit être une conséquence de
>>quelque chose qui ressemble vaguement à la formule d'Hadamard.
>
> J'ai trouvé dans Formes quadratiques et groupes classiques de René Deheuvels
> une démonstration qui montre que chaque composante de l'exponentielle est
> analytique en les composantes de la matrice de départ. Cette démonstration
> est assez simple et élémentaire.
> J'ai pondu quelquechose, qui reprend cette preuve, avec des compléments
> venant de moi seul. Je ne suis donc vraiment sûr de ce que j'écris, et une
> aide extérieure serait bienvenue...
> Le fichier se trouve là :
> http://www2.votre-enfant.com/maths.pdf[/color]

Je veux bien aidé, mais j'arrive pas à lire le pdf. Si tu met en ligne
l'original, ou un postcript, je devrais pouvoir me débrouiller.

Par ailleurs, j'ai déjà eu ce problème avec d'autres pdf (j'utilise un
Mac) et j'aimerais savoir d'où ça vient. Tu l'as créé comment ?

> C'est à partir de 1.3 que j'ai des doutes, d'abord sur la définition de
> l'analycité (j'ai pris volontairement une définition pas du tout générale,
> pour simplifier le problème : j'ai supposé que la fonction était partout
> somme d'une même série entière centrée en 0) (pourquoi la série doit être
> absolument convergente, et pas convergente tout court?), puis sur la preuve

Comme je n'ai pas lu ce que tu as fait, je te livre mon idée: La
convergence absolue et nécessaire, car en fait elle entraine la
convergence normale sur tout compact inclus dans le disque de
convergence. Donc assure la continuité, ce qui n'est pas le cas
lorsqu'il y a congergence simple.

De plus, il y a un petit lemme rigolo, issu du lemme d'Hadamard. Si on
remplace a_n par P(n)a_n où P est un polynôme, le rayon de convergence
ne change pas.

C'est ça qui donne le passage à C1, puis C2, etc... sur le disque de
convergence.

> cité précedemment. Ma question est : pourquoi l'absolue convergence est
> nécessaire à montrer, alors qu'on sait déjà que la série est convergente
> simplement.

Pour des questions de continuité, pour pouvoir dériver sous le signe somme.

Et aussi parce que ca donne de jolis théorèmes en analyse complexe.
Continuité de l'application dérivation. Théorème de Frechet-Montel.

Mais peut-être ai-je mal compris ta question ....
[color=green][color=darkred]
>>>utilisant la formule de Cauchy, et qui montre le résultat seulement pour
>>>l'exponentielle. Malheureusement, je ne crois pas qu'elle s'étende à
>>>toutes les séries entières...
>>
>>Je pense qu'elle s'étend effectivement. Tu devrais y regarder de plus
>>près, (ou en tout cas me faire part des réflexions de ce cher monsieur
>>Lafontaine).[/color]
>
>
> La formule à montrer est :
> exp A = 1/(2i pi) intégrale sur le cercle C(0,r) de (zI-A)^{-1} e^z dz, pour
> r le rayon spectral de A. Cette formule se démontre en utilisant la densité
> des matrices diagonalisables, et du fait que si A est diagonale, cette
> formule est une conséquence de la formule de Cauchy.[/color]

Je vais y réfléchir. A priori, ça me paraît un artifice (ça peut être
ingénieux un artifice). Pour généraliser ça à des séries entières
quelconques, il me semble qu'il faudrait chercher dans un registre un
peu plus théorique. (Peut-être que je me trompe.)

> En fait, j'avais trouvé une "preuve" (fausse, d'où les guilllemets) que la
> différentielle d'une série entière est H -> (somme de (n+1) a_(n+1) A^n) H,

Ah oui, c'est faux quand c'est pas commutatif. On est d'accord.

> et j'identifiais alors les endomorphismes de matrices H->AH avec les
> matrices AH, de sorte que "la différentielle d'une série entière de matrices
> est la série entière dérivée de matrices"...

Dans un post précédent, j'expliquais en quoi cette phrase pouvait être
juste. Il me semble.
[color=green]
>>Question à 2pi roubles : crois-tu que ça passe à la dimension infinie,
>>même en non commutatif (par exemple une série entière sur les
>>endomorphismes continus d'un espace de Banach). Il me semble que oui. J'y
>>réfléchirai si ça t'intéresse.
>
> Pourquoi pas? Mais personnellement, je me contenterais dans un premier temps
> du résultat pour la dimension finie, parce que je fais tout ça pour une
> étude élémentaire des groupes de Lie, et je me restreins volontairement à la
> dimension finie.[/color]

D'accord, on se restreint.

Désolé de ne pas avoir pu/su être plus utile.

[Anonyme]

"Guillaume Yziquel" a écrit dans le message de
news: 42188899$0$14553$626a14ce@news.free.fr...
> Je veux bien aidé, mais j'arrive pas à lire le pdf. Si tu met en ligne
> l'original, ou un postcript, je devrais pouvoir me débrouiller.

http://www2.votre-enfant.com/maths.gif
désolé pour la mauvaise qualité...

>
> Par ailleurs, j'ai déjà eu ce problème avec d'autres pdf (j'utilise un
> Mac) et j'aimerais savoir d'où ça vient. Tu l'as créé comment ?

Avec MiKteX.


> Désolé de ne pas avoir pu/su être plus utile.

Merci pour ton aide. J'aimerais maintenant être sûr que ma démonstration est
correcte...