Questions Equa Diff

[Anonyme]

Bonjour tlm,

Voilà je suis face à deux exercices d'équa diff cela fait depuis hier que
j'essaye de trouver une solution, je sais que c'est simple mais je ne trouve
pas le "déclic" pourriez-vous m'aider svp???

Enoncé exercice 1:

Un isotope a une période de demi-vie T. L'activité de cet isotope s'écrit:
A(t) = Ao 2^(-t/T)

Ao est l'activité à t=0. Exprimer A(t) en fonction exponentielle du temps et
calculer le nombre total d'atome présents D définie par :
D= ( intégrale de 0 à oo ) A(t) dt

Mes idées :

Je sais que la solution générale est de la forme : A(t) = Ao e (-k t)
(1)
A T nous avons A(T) = Ao/2 d'où dans cet exercice A(t) = Ao/[2^(t/T)] donc
j'ai pensé à remplacé A(t) dans (1) et donc à faire ressortir t et à le
remplacer dans ( 1) mais bon voilà il y a tjrs le k qui gène et ça me paraît
un peu faux cette initiative :s

Enoncé exercice 2:

Le technétium 99 métastable a une période radioactive T1/2 de 6h, ce qui
signifie qu'en l'absence de toute utilisation métabolique ou élimination,
son activité évolue selon la relation :
a= ao 2^(-t/T1/2) ) = ao 2^( -t/6) ( 1)

ao étant l'activité au moment de l'injection. Quel est le délai
correspondant à une division par 100 de l'activitédu Tc-99m? ( Réponse en
heures )

Mes idées :

J'ai pensé à sortir le t dans (1) j'ai remplacé a par ao/100 mais je trouve
des réponses avec des ln et des nombre non-entiers :s....


Merci d'avance !

Caroline

[Anonyme]

Dans le message
news:415fce73$0$30435$79c14f64@nan-newsreader-06.noos.net,
jk a écrit:
> Bonjour tlm,

Bonjour

> Voilà je suis face à deux exercices d'équa diff cela fait depuis hier
> que j'essaye de trouver une solution,
> je sais que c'est simple mais
> je ne trouve pas le "déclic" pourriez-vous m'aider svp???
>
> Enoncé exercice 1:
>
> Un isotope a une période de demi-vie T. L'activité de cet isotope
> s'écrit: A(t) = Ao 2^(-t/T)
>
> Ao est l'activité à t=0. Exprimer A(t) en fonction exponentielle du
> temps et calculer le nombre total d'atome présents D définie par :
> D= ( intégrale de 0 à oo ) A(t) dt
>
> Mes idées :
>
> Je sais que la solution générale est de la forme : A(t) = Ao e (-k t)
> (1)
> A T nous avons A(T) = Ao/2 d'où dans cet exercice A(t) = Ao/[2^(t/T)]
> donc j'ai pensé à remplacé A(t) dans (1) et donc à faire ressortir t
> et à le remplacer dans ( 1) mais bon voilà il y a tjrs le k qui gène
> et ça me paraît un peu faux cette initiative :s

Il n'y a pas d'équa dif ici, tu connais explicitement ta fonction A(t).
Je crois que tu t'es embrouillé les idées en pensant à ces équations
différentielles, à une solution générale...
Pour passer à une fonction exponentielle, utilise a^b = e^(b Ln(a))
Ainsi A(t) = Ao 2^(-t/T) = Ao e^(-t Ln(2)/T)
Tu retrouves bien pour t=T : e(-Ln(2)) qui vaut 1/2.
Maintenant tu peux calculer l'intégrale demandée.

> Enoncé exercice 2:
>
> Le technétium 99 métastable a une période radioactive T1/2 de 6h, ce
> qui signifie qu'en l'absence de toute utilisation métabolique ou
> élimination, son activité évolue selon la relation :
> a= ao 2^(-t/T1/2) ) = ao 2^( -t/6) (1)
>
> ao étant l'activité au moment de l'injection. Quel est le délai
> correspondant à une division par 100 de l'activitédu Tc-99m? (
> Réponse en heures )
>
> Mes idées :
>
> J'ai pensé à sortir le t dans (1) j'ai remplacé a par ao/100 mais je
> trouve des réponses avec des ln et des nombre non-entiers :s....

Effectivement, tu cherches t tel que a = ao/100
C'est à dire 2^(-t/6) = 1/100
A nouveau, le plus commode est de "passser aux log" :
a et b positifs, a = b est équivalent à Ln(a) = Ln(b).
Tu ne peux pas éviter que le résultat comporte des Ln.

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

Merci pour votre réponse!
Caroline