Equa diff

[Anonyme]

Bonjour
j'ai du mal avec les equa diff.
en calculant une geodesique je tombe sur cette equa diff :
y''(a**2 - y**2) - y(1+(y')**2) = 0
y=f(x) x dans R
a=cst reel
une methode pour resoudre ?
merci

[Anonyme]

"joe" a écrit dans le message de
news:3f8b6947$0$20646$626a54ce@news.free.fr...
> Bonjour
> j'ai du mal avec les equa diff.
> en calculant une geodesique je tombe sur cette equa diff :
> y''(a**2 - y**2) - y(1+(y')**2) = 0
> y=f(x) x dans R
> a=cst reel
> une methode pour resoudre ?
> merci
>
Comme x ne figure pas dans l'équation, on pose :
y' = f(y)
y" = d(f)/dx = f '(y).f(y)
et on ramène l'équation au premier ordre, qui s'intègre facilement de plus.

A.J.

[Anonyme]

Pour résoudre :
[color=green]
> > y''(a**2 - y**2) - y(1+(y')**2) = 0
> > y=f(x) x dans R
> > a=cst reel[/color]

A.J. a proposé :

> Comme x ne figure pas dans l'équation, on pose :
> y' = f(y)
> y" = d(f)/dx = f '(y).f(y)
> et on ramène l'équation au premier ordre, qui s'intègre facilement de
plus.

Mais c'est faux ! Si on a y ' = f(y) avec le même f que y = f(x), ce n'est
plus la même équation. En effet, cela suppose y ' = f(y) = f(f(x))=f ' (x)
pour tout x, soit finalement, pour une solution maximale, sur son ensemble
de définition : f ' = f o f (composée) , équation fonctionnelle pas
évidente. La solution que tu trouves par la méthode proposée n'est vraiment
solution que si f vérifie cette relation... Et ce n'est pas le cas ! (sauf
peut-être pour certaines valeurs de a, je n'ai vérifié que pour a=1).

En fait, cette équation n'a vraiment pas l'air simple... J'ai un peu
cherché, mais rien trouvé.

Voilà ce à quoi j'ai pensé : si on cherche f à valeurs réelles, dérivable,
on a y ' = f ' (x) = tan (u(x)) (pour u(x)=Arctan(f ' (x))). Alors y '' = (1
+ tan^2 (u)) * u ' .
L'équation se réduit à u ' * (a^2-y^2) - y = 0, en simplifiant par (1 +
tan^2(u)) :
u ' = y/(a^2-y^2), et y'=tan(u). Cette fois-ci l'équation est bien du
premier ordre, mais dans R^2, ce qui en soit n'est pas une avancée
extraordinaire (trivialement, le vecteur (y' , y) vérifie une équation du
premier ordre dans R^2 que l'on calcule aiséement). Mais celle-là m'est plus
sympathique...

Enfin, j'ai demandé à Maple ce qu'il en pense, et il trouve tout de suite
une "solution" en termes de fonctions "LambertW" et d'intégrales non
calculées. Bref, pas vraiment exploitable.

--
Jérémie Rocher.
enlever "_nospamplease" pour me répondre.

[Anonyme]

Je me réponds à moi-même : j'avais fait une petite erreur de Maple... En
fait, les solutions qu'il calcule sont nettement plus sympathiques (ouf !).
Mais cette fois-ci c'est sur, on ne peut pas les exprimer à l'aide de
fonctions usuelles, sauf pour certaines conditions initiales (et valeurs de
a) particulières. Bon, je vais encore chercher un peu...

--
Jérémie Rocher.
enlever "_nospamplease" pour me répondre.

[Anonyme]

> en calculant une geodesique je tombe sur cette equa diff :
> y''(a**2 - y**2) - y(1+(y')**2) = 0
> y=f(x) x dans R
> a=cst reel

Bon, après quelques essais infructueux (cf mes réponses à A.J.), je crois
que je tiens une solution. Attention, il y a une intégrale elliptique
là-dedans : je ne donne pas les solutions sous forme de fonctions usuelles.
D'ailleurs, je ne fais pas tous les calculs, je donne juste les grandes
lignes :

on réécrit l'équation sous la forme :

y'' / (1+y ' ^2) = y / (a^2 - y^2).

Remarquons que la seule solution constante sur un intervalle est y==0 (c'est
une solution... triviale !).
Autrement, y' 0 donc l'équation ci-dessus revient à la même multipliée
par 2y ' , soit :

(1/(1 + y ' ^2)) ' = - (1/(a^2 - y^2)) ' , soit :

1/(1 + y ' ^2) = - 1/(a^2 - y^2) + b, où b est une constante d'intégration
(dépend de a et des conditions initiales).

y ' ^2 = -1 + 1/ (b - 1/(a^2 - y^2)) , ce qui limite l'espace d'arrivée et
le choix de b : le second membre doit être positif ou nul (calcul
simple...). Finalement, tu as deux classes de solutions : en considérant une
primitive F de y --> 1/racine( -1 + 1/ (b - 1/(a^2 - y^2)) ), G = e*F+c où c
est une constante d'intégration et e=1 ou -1, y(x)=G^(-1) (x), où G^(-1)
désigne une réciproque (localement, si elle existe...) de G.

En pratique, G se calcule difficilement dans le cas général. Peut-être
peut-on l'inverser sans la calculer (j'en doute).

Si tu donnais le cadre de ton calcul (et pourquoi pas des conditions
initiales !) ce serait plus simple : tu dis que c'est pour calculer une
géodésique. Tu peux être plus précis ?

--
Jérémie Rocher
enlever "_nospamplease" pour me répondre.

[Anonyme]

>
> on réécrit l'équation sous la forme :
>
> y'' / (1+y ' ^2) = y / (a^2 - y^2).
>
> Remarquons que la seule solution constante sur un intervalle est y==0
(c'est
> une solution... triviale !).
> Autrement, y' 0 donc l'équation ci-dessus revient à la même multipliée
> par 2y ' , soit :
>
> (1/(1 + y ' ^2)) ' = - (1/(a^2 - y^2)) ' , soit :
>
> 1/(1 + y ' ^2) = - 1/(a^2 - y^2) + b, où b est une constante d'intégration
> (dépend de a et des conditions initiales).
>
>
> Si tu donnais le cadre de ton calcul (et pourquoi pas des conditions
> initiales !) ce serait plus simple
> --

Tout d'abord un grand merci pour tes efforts Jérémie!
ideme A.J.

j'avais deja simplifier l'equation en ecartant les 2 solutions x=cst et y'=0
(y cst).

donc... je precise :
a est reel positif non nul
il serai interressant de voir les deux cas a>>1 et a b=(c^2+1)a^2

j' essaie de continuer la suite... (je suis un peu rouillé)
( mais tu as encore le droit de m'aider si tu veux )

[Anonyme]

> >[color=green]
> > (1/(1 + y ' ^2)) ' = - (1/(a^2 - y^2)) ' , soit :
> >
> > 1/(1 + y ' ^2) = - 1/(a^2 - y^2) + b, où b est une constante[/color]
d'intégration[color=green]
> > (dépend de a et des conditions initiales).[/color]

> t'as pas fait une erreur ?

Si. Honte sur moi ! Et j'avais mal lu le post de A.J., il proposait quelque
chose d'assez
équivalent comme méthode.

> en fait on a [ln |...|] ' = - [ln |...|] ' +k :

Oui.

> ce qui donne finalement
> (y')^2 = b/(a^2 -y^2) -1 (b=e(k))

Oui, comme tu as remarqué, avec tes conditions |y|0. De plus,
avec y(0)=0 (important
!), y'(0)^2=b/(a^2)-1=c^2>0 : b>a^2. Pour simplifier, on notera
b/(a^2)=r^2=1+c^2 et s=y/a :
a^2 (s')^2 = r^2/(1 - s^2) - 1

racine( (1-s^2)/(c^2+s^2) ) s' = signe(c)/a .

Ensuite, pour intégrer le terme de droite, il faut faire appel aux fonctions
elliptiques... Cependant, pour la périodicité des solutions, ça doit être
possible de l'étudier en regardant directement les solutions dans l'espace
des phases, sans résoudre : on a s' en fonction de s. Les courbes (s',s),
quelle que soit ta condition initiale, sont "ouvertes" (il suffit d'étudier
g : x -> racine( (C+x^2) / (1-x^2) ) , pour C>0 : ce sont des fonctions
convexes...), donc les solutions ne peuvent pas être périodiques, sauf
peut-être au cas limite C=0... ("peut-être", en fait sûrement, c'est un
point fixe !). Plus simplement, le signe de s' est constant, donc... dommage
!

--
Jérémie

[Anonyme]

"Jérémie Rocher" a écrit dans le message de
news:bmh7nq$lkj$1@discovery.ens-cachan.fr...
> Pour résoudre :
>[color=green][color=darkred]
> > > y''(a**2 - y**2) - y(1+(y')**2) = 0
> > > y=f(x) x dans R
> > > a=cst reel[/color]
>
> A.J. a proposé :
>
> > Comme x ne figure pas dans l'équation, on pose :
> > y' = f(y)
> > y" = d(f)/dx = f '(y).f(y)
> > et on ramène l'équation au premier ordre, qui s'intègre facilement de
> plus.
>
> Mais c'est faux ! Si on a y ' = f(y) avec le même f que y = f(x), ce n'est
> plus la même équation.[/color]

Mais non bien sur ! Je n'avais noté que l'équa. diif et non que l'expression
f était déjà utilisée ...
Disons donc y' = g(y), et c'est classique (du moins ça l'était de mon
temps...)
Donc :
y" = g'(y)*dy/dx = g'(y)*g(y)
et l'équation devient :
g*g'*(a^2 - y^2) - y*(1 + (1 + g^2) = 0
d'où :
d(g^2)/(1 + g^2) = - d(y^2)/(a^2 - y^2)
qui s'intègre en :
ln(1 + g^2) = - ln(a^2 - y^2)
d'où :
g = dy/dx = ((y^2+1-a^2)/(a^2-y^2))^(1/2)
on est donc ramené à une quadrature pour avoir x en fonction de y.

A.J.

[Anonyme]

> Mais non bien sur ! Je n'avais noté que l'équa. diif et non que
l'expression
> f était déjà utilisée ...

Oui effectivement, j'avais mal lu, je me suis bien gourré et je te fais mes
plus plates excuses. Je l'ai d'ailleurs déja fait remarquer dans une autre
réponse... Où j'ai donné une solution équivalente.

> Disons donc y' = g(y), et c'est classique (du moins ça l'était de mon
> temps...)
> Donc :
> y" = g'(y)*dy/dx = g'(y)*g(y)
> et l'équation devient :
> g*g'*(a^2 - y^2) - y*(1 + (1 + g^2) = 0
> d'où :
> d(g^2)/(1 + g^2) = - d(y^2)/(a^2 - y^2)
> qui s'intègre en :
> ln(1 + g^2) = - ln(a^2 - y^2)

Oui... à une constante d'intégration près (joe a donné comme c. i. y(0)=0 et
y'(0)=c0.)

> d'où :
> g = dy/dx = ((y^2+1-a^2)/(a^2-y^2))^(1/2)
> on est donc ramené à une quadrature pour avoir x en fonction de y.

Ah oui, mais ça, ce n'est pas si simple ! Intégrer le second membre (avec la
constante d'intégration, et en faisant bien attention au signe), ça utilise
des fonctions elliptiques (qu'on ignore généralement totalement dans
l'enseignement des maths, il me semble). Et inverser pour trouver y en
fonction de x c'est pas rigolo non plus. C'est pourquoi j'ai proposé
ailleurs de se contenter d'étudier le portrait de phase (plus parlant qu'une
grosse formule).

--
Jérémie Rocher

enlever "_nospamplease" pour me répondre.

[Anonyme]

[color=green]
> > qui s'intègre en :
> > ln(1 + g^2) = - ln(a^2 - y^2)
>
> Oui... à une constante d'intégration près (joe a donné comme c. i. y(0)=0[/color]
et
> y'(0)=c0.)

Oui, je l'avais oubliée...
>[color=green]
> > d'où :
> > g = dy/dx = ((y^2+1-a^2)/(a^2-y^2))^(1/2)
> > on est donc ramené à une quadrature pour avoir x en fonction de y.[/color]

>
> Ah oui, mais ça, ce n'est pas si simple ! Intégrer le second membre (avec
la
> constante d'intégration, et en faisant bien attention au signe), ça
utilise
> des fonctions elliptiques (qu'on ignore généralement totalement dans
> l'enseignement des maths, il me semble). Et inverser pour trouver y en
> fonction de x c'est pas rigolo non plus. C'est pourquoi j'ai proposé
> ailleurs de se contenter d'étudier le portrait de phase (plus parlant
qu'une
> grosse formule).
>
> --
> Jérémie Rocher

Effectivement, par des changements de variable, on aboutit à quelque chose
comme :

dx = du/sqrt(P(u)

où P(u) est un polynome de degré 3, donc une intégrale elliptique, comme
vous le disiez.

Cordialement,
A.J.