Polynomes de meilleure approximation

[Anonyme]

Bonjour, suite à un problème sur des polynomes de meilleure approximation,
les dernières questions me demandent de trouver un polynome de meilleure
approximation de

f continue sur [a,b], trouver le pol de degré 0 : je pense que c'est (Sup f
+ inf f) /2

exp(x) sur [a,b], trouver le pol de degré 0

x²+x sur [-a,0] et x²-x sur [0,a], trouver le pol de degré 2

Pouvez vous m'aider ??

merci

[Anonyme]

"Mathieu VIENNEY" a écrit

> Bonjour, suite à un problème sur des polynomes de meilleure approximation,
> les dernières questions me demandent de trouver un polynome de meilleure
> approximation de

Pour quelle norme?

> f continue sur [a,b], trouver le pol de degré 0 : je pense que c'est (Sup
f
> + inf f) /2

Pour la norme infinie, oui.

> exp(x) sur [a,b], trouver le pol de degré 0

C'est le cas précédent.

> x²+x sur [-a,0] et x²-x sur [0,a], trouver le pol de degré 2

Ca peut s'écrire méchamment: tu prend bx^2+cx+d polynôme de meilleure
approximation, tu calcules la distance à ta fonction pour la norme infinie,
et tu minimise cette fonction de b,c et d.
Pour la norme 2 c'est plus simple, puisque ça revient à projeter
orthogonalement sur un sous-espace.

--
Maxi

[Anonyme]

Pardon, pour exponentielle, c'est celle de degré 1 qu'il me faut ...

Désolé ...

Au fait, c'est pour la norme infinie

>

[Anonyme]

> Au fait, c'est pour la norme infinie

Désolé, je ne connais pas de méthode non bourrine pour faire ça.

--
Maxi

[Anonyme]

Le Sun, 16 Nov 2003 11:38:58 +0100,
Mathieu VIENNEY grava à la saucisse et au marteau:

> x²+x sur [-a,0] et x²-x sur [0,a], trouver le pol de degré 2

Bon, ta fonction est symétrique, donc ton polynôme doit aussi être
symétrique (théorème de Le Roux du dimanche matin). Donc P(x) = bx^2.

Il suffit de regarder celui qui minimise sur [0,a]:

g(x) = x^2-x-bx^2 = (1-b)x^2 - x
g'(x) = 2(1-b)x - 1

g'(x) = 0 ssi x = 1/[2(1-b)] (on va d'abord supposer b différent de
1)(il faut donc b inférieur strict à 1-1/(2a))


Donc l'extremum vaut 1/[4(1-b)] - 1/[2(1-b)] = -1/[4(1-b)]

L'extremum est le plus proche de 0 pour b = 1-1/(2a)

Avec b = 1, l'extremum est a (ou -a, on s'en fout) qui est plus grand
que le a/2 obtenu plus haut.

Les polynômes tels que la dérivée s'annule pas sur [0,a] voient leur max
en a = (1-b)a^2 - a avec b supérieur à 1-1/2a, donc le tout est
supérieur à -a/2 (pour b = 1-1/(2a) en fait.

Donc c'est ta solution.

C'est ptet moins bourrin que ce à quoi pensait Maxi mais c'est pas beau
quand même.

--
Nicolas