[LST semestre2] espace vectoriel des polynômes

[Anonyme]

Bonjour,

j'ai un petit problème de lecture :

On considère l'espace vectoriel R3[X] des polynômes de degré inférieur ou
égal à 3 à coefficients réels.

On note F la partie de R3[X] formée par les polynômes P(X) qui vérifient
P(-1)=P(0)=P(1)

question : F est-il un sous-espace vectoriel de R3[X] ?
-----------------------
Si je comprends bien, F est constitué des polynômes de degré inférieur ou
égal à 3 c'est à dire P(X)=aX^3+bX^2+cX^+d

Moi, je lis en fait que F est l'ensemble des polynômes tels que pour X=-1 et
X'=0 et X''=1, P(-1)=P(0)=P(1) ce qui permet de calculer les coefficients,
a, b, c.

donc on a=(-c) et b=0 (si a et c non nuls)

Ai-je bien lu ???

A partir de là, pour en revenir à la question, montrer qu'une partie est un
sous-espace vectoriel, revient à montrer que cette partie
- est non vide
- et qu'elle est stable pour l'addition et pour la multiplication par un
scalaire

Me suffit-il de vérifier cela uniquement en m'assurant qu'on a toujours
a=(-c) b=0 ?

Merci beaucoup pour votre aide.

JD

[Anonyme]

Bonjour,

jd :
> Si je comprends bien, F est constitué des polynômes de degré
> inférieur ou égal à 3 c'est à dire P(X)=aX^3+bX^2+cX^+d
> [...]
> P(-1)=P(0)=P(1) ce qui permet de
> calculer les coefficients, a, b, c.
> [...]
> donc on a=(-c) et b=0 (si a et c non nuls)

Oui, et cette condition est nécessaire.

Réciproquement un polynôme de la forme aX^3-aX+d vérifie toutes les
hypothèses, la condition est donc aussi suffisante.

> A partir de là, pour en revenir à la question, montrer qu'une
> partie est un sous-espace vectoriel, revient à montrer que cette
> partie - est non vide
> - et qu'elle est stable pour l'addition et pour la
> multiplication par un scalaire

Oui, et on utilise la condition nécessaire et suffisante.

Voilà le début de la rédaction :

Soit P, Q dans F, il existe a,b et c,d dans K tels que :
P(X)=a(X^3-X)+b et Q(X)=c(X^3-X)+d, alors ...


À plus tard.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Merci,

je vois que j'avais pas trop mal compris. Je vais pouvoir continuer.

Amicalement

JD

"Michel" a écrit dans le message de
news:XnF949D5AEB9314michel@193.252.19.141...
> Bonjour,
>
> jd :[color=green]
> > Si je comprends bien, F est constitué des polynômes de degré
> > inférieur ou égal à 3 c'est à dire P(X)=aX^3+bX^2+cX^+d
> > [...]
> > P(-1)=P(0)=P(1) ce qui permet de
> > calculer les coefficients, a, b, c.
> > [...]
> > donc on a=(-c) et b=0 (si a et c non nuls)
>
> Oui, et cette condition est nécessaire.
>
> Réciproquement un polynôme de la forme aX^3-aX+d vérifie toutes les
> hypothèses, la condition est donc aussi suffisante.
>
> > A partir de là, pour en revenir à la question, montrer qu'une
> > partie est un sous-espace vectoriel, revient à montrer que cette
> > partie - est non vide
> > - et qu'elle est stable pour l'addition et pour la
> > multiplication par un scalaire
>
> Oui, et on utilise la condition nécessaire et suffisante.
>
> Voilà le début de la rédaction :
>
> Soit P, Q dans F, il existe a,b et c,d dans K tels que :
> P(X)=a(X^3-X)+b et Q(X)=c(X^3-X)+d, alors ...
>
>
> À plus tard.
> --
> Michel [overdose@alussinan.org][/color]

[Anonyme]

Plus simplement, tu dis que ton ensemble est l'espace engendré par X^3-X et
par 1
Tu as alors directement la structure de sev...