Polynomes de tchebychev

[Anonyme]

Soit la suite de polynômes de Tchebychev définie par T0 = 1, T1 = X et pour
n >= 2, Tn = 2XTn-1 - Tn-2.

Comment faire pour montrer que pour n et m entiers naturels, on a Tnm(X) =
Tn[Tm(X)] ??

Merci de votre aide.

[Anonyme]

pop wrote:
> Soit la suite de polynômes de Tchebychev définie par T0 = 1, T1 = X et pour
> n >= 2, Tn = 2XTn-1 - Tn-2.
>
> Comment faire pour montrer que pour n et m entiers naturels, on a Tnm(X) =
> Tn[Tm(X)] ??

tu peux fixer m et faire une récurrence sur n par exemple .
ou savoir ce que vaut Tn(cost) et invoquer l'égalité des polynomes en un nombre
infini de points

[Anonyme]

ok, merci.

autres questions sur le même exo :

1) On note v(n) le plus grand entier naturel tel que
2^v(n) | n.
Montrer que :
(i) si v(n ) est différent de v(m) alors pgcd(Tn , Tm) = 1
(ii) si v(n) = v(m) alors pgcd(Tn , Tm) = Td / 2^(d-1) où d = pgcd(n , m)
on me donne une indication : rechercher les racines communes à Tn et Tm

2) Démontrer que (Tn) est une base de R[X]

Merci pour votre aide sur ces deux questions
"Osiris" a écrit dans le message de news:
bnra5v$ld8$2@biggoron.nerim.net...
>
>
> pop wrote:[color=green]
> > Soit la suite de polynômes de Tchebychev définie par T0 = 1, T1 = X et[/color]
pour[color=green]
> > n >= 2, Tn = 2XTn-1 - Tn-2.
> >
> > Comment faire pour montrer que pour n et m entiers naturels, on a Tnm(X)[/color]
=[color=green]
> > Tn[Tm(X)] ??
>
> tu peux fixer m et faire une récurrence sur n par exemple .
> ou savoir ce que vaut Tn(cost) et invoquer l'égalité des polynomes en un[/color]
nombre
> infini de points
>

[Anonyme]

"pop" a écrit

> 2) Démontrer que (Tn) est une base de R[X]

Remarquer que deg(Tn)=n.

--
Maxi

[Anonyme]

pop wrote:
> 1) On note v(n) le plus grand entier naturel tel que
> 2^v(n) | n.
> Montrer que :
> (i) si v(n ) est différent de v(m) alors pgcd(Tn , Tm) = 1
> (ii) si v(n) = v(m) alors pgcd(Tn , Tm) = Td / 2^(d-1) où d = pgcd(n , m)
> on me donne une indication : rechercher les racines communes à Tn et Tm

D'où,il faut connaitre Tn(cost),je crois que c'est cos(nt) non?
tu as donc les racines de Tn dans [0,1], mais si deg(Tn)=n et que tu trouves n
racines, alors tu les as toutes !!!!
tu factorises donc les polynomes (y'a p'être une question avant où tu calcules
le coeff dominant non? ) et tu mets les neurones sur "on"