Petit pb de trigo

[Anonyme]

Bonsoir,

Voic l'exo sur lequel je bute:
on considère 3 réeles a,b,c; on suppose a>0; on note m l'unique solution
dans ]-pi/2; pi/2[ de l'équation tan m = b/a.
1) Exprimer cos m et sin m en fonction de a et b.
2) Montrer qu'il existe un réel u tel que l'équation a cos x + b sin x = c
équivaut à cox (x-m) = u.
A quelle condition admet-elle des solutions ?

Merci par avance pour votre aide.

[Anonyme]

> 1) Exprimer cos m et sin m en fonction de a et b.

tan²(m) = sin²(m) / cos²(m) = b²/a² et cos²m + sin²m = 1

on a alors b²/a² = (1 - cos²m)/cos²m = 1/cos²m - 1 d'où cos²m = 1/(1 +
b²/a²) = a²/(a² + b²) => cos m = a/sqrt(a² + b²)
On fait pareil pour sin m = (+ ou -)b/sqrt(a² + b²)


> 2) Montrer qu'il existe un réel u tel que l'équation a cos x + b sin x = c
> équivaut à cox (x-m) = u.
> A quelle condition admet-elle des solutions ?

on divise l'équation par sqrt(a² + b²) : ce qui donne cos(m)cos(x) (+ ou -)
sin(m)sin(x) = c/sqrt(a² + b²), soit cos(x - m) = c/sqrt(a²+b²) ou cos(x +
m) = c/sqrt(a²+b²).

a mon avis, il faut l'hypothèse : b > 0 non ?

[Anonyme]

"Antisia" avait prétendu :[color=green]
>> 1) Exprimer cos m et sin m en fonction de a et b.
>
> tan²(m) = sin²(m) / cos²(m) = b²/a² et cos²m + sin²m = 1
>
> on a alors b²/a² = (1 - cos²m)/cos²m = 1/cos²m - 1 d'où cos²m = 1/(1 +
> b²/a²) = a²/(a² + b²) => cos m = a/sqrt(a² + b²)
> On fait pareil pour sin m = (+ ou -)b/sqrt(a² + b²)[/color]

Non, il suffit d'écrire sin m = tan m * cos m et on trouve sin m =
b/sqrt(a²+b²)
[color=green]
>> 2) Montrer qu'il existe un réel u tel que l'équation a cos x + b sin x = c
>> équivaut à cox (x-m) = u.
>> A quelle condition admet-elle des solutions ?
>
> on divise l'équation par sqrt(a² + b²) : ce qui donne cos(m)cos(x) (+ ou -)
> sin(m)sin(x) = c/sqrt(a² + b²), soit cos(x - m) = c/sqrt(a²+b²) ou cos(x +
> m) = c/sqrt(a²+b²).
>
> a mon avis, il faut l'hypothèse : b > 0 non ?[/color]

Non, d'après ce qui précède. On trouve cos(x-m) = c/sqrt(a²+b²).
sin m peut être positif ou négatif dans l'intervalle considéré.
Ensuite la condition est que c/sqrt(a²+b²)appartienne à [-1;1]


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Myra

[Anonyme]

En tous cas, merci à vous 2 du coup de main; je vais reprendre ça
tranquillement, à tête reposée.
Encore merci.