[PCSI] Problème de simplification (trigo)

[Anonyme]

Bonjour !

Je bloque sur cet exo
Pourriez vous m'indiquer comment continuer svp ?

Soit x=pi/17
Soit a=cos(3x)+cos(5x)+cos(7x)+cos(11x)
Soit b=cos(x)+cos(9x)+cos(13x)+cos(15x)

Je dois prouver que
a+b=1/2
Pour l'instant, je trouve
a+b=cos(8x)*sin(8x)/sin(x)
et je n'arrive plus a simplifier

De plus, je dois calculer 2ab
Je trouve :
2ab=4(cos(2x)+cos(4x)+cos(6x)+cos(8x)+cos(10x)
+cos(12x)+cos(14x)+cos(16x))
ce qui me donne ensuite
2ab=4*cos(9x)*sin(8x)/sin(x)

Je ne sais plus comment avancer ensuite...

Merci d'avance

[Anonyme]

Sur la page suivante :

http://perso.wanadoo.fr/megamaths/frag/fragd/fragd.html

Et telecharger le fichier suivant :

http://perso.wanadoo.fr/megamaths/frag/fragd/s3hpog0001.pdf


On 14 Sep 2003 03:41:18 -0700, mill.valmar@free.fr (mill`) wrote:

>Bonjour !
>
>Je bloque sur cet exo
>Pourriez vous m'indiquer comment continuer svp ?
>
>Soit x=pi/17
>Soit a=cos(3x)+cos(5x)+cos(7x)+cos(11x)
>Soit b=cos(x)+cos(9x)+cos(13x)+cos(15x)
>
>Je dois prouver que
>a+b=1/2
>Pour l'instant, je trouve
>a+b=cos(8x)*sin(8x)/sin(x)
>et je n'arrive plus a simplifier
>
>De plus, je dois calculer 2ab
>Je trouve :
>2ab=4(cos(2x)+cos(4x)+cos(6x)+cos(8x)+cos(10x)
>+cos(12x)+cos(14x)+cos(16x))
>ce qui me donne ensuite
>2ab=4*cos(9x)*sin(8x)/sin(x)
>
>Je ne sais plus comment avancer ensuite...
>
>Merci d'avance

[Anonyme]

Merci Fab mais...la méthode est quand meme un peu différente de celle
que je dois employer et je ne vois toujours pas comment continuer par
rapport à ce que j'ai fait. Je reste bloqué...

[Anonyme]

Dans news:12ce7cfd.0309140241.6c126337@posting.google.com,
mill` a écrit :
>
> Soit x=pi/17
> Soit a=cos(3x)+cos(5x)+cos(7x)+cos(11x)
> Soit b=cos(x)+cos(9x)+cos(13x)+cos(15x)
>
> Je dois prouver que
> a+b=1/2
> Pour l'instant, je trouve
> a+b=cos(8x)*sin(8x)/sin(x)
> et je n'arrive plus a simplifier

Bonjour,
Tu y es pourtant:
cos(8x) sin (8x) = sin(16x) / 2
et sin(16x) = sin(x) puisque x=pi/17

> De plus, je dois calculer 2ab
> Je trouve :
> 2ab=4(cos(2x)+cos(4x)+cos(6x)+cos(8x)+cos(10x)
> +cos(12x)+cos(14x)+cos(16x))
> ce qui me donne ensuite
> 2ab=4*cos(9x)*sin(8x)/sin(x)

cos(9x) = -sin(x) pour simplifier mais je crois qu'il y a quand même
une erreur.

La somme cos(2x)+cos(4x)+...+cos(16x) est la partie réelle de

(e^2ix) (1-e^16ix) / (1-e^2ix)
soit e^ix (e^ix-e^17ix) / (1-e^2ix)
soit (e^ix+1) / (e^-ix - e^ix)
soit (1+cos(x) + i sin(x)) / (-2i sin(x))
Cette partie réelle vaut donc -1/2
Donc 4 fois la somme des cos = -2
2ab = -2
sauf erreur de calcul !

--
Cordialement,
Bruno