Ordre de x^k

[Anonyme]

Bonsoir,

Soit x element d'un groupe cyclique d'ordre n
Quel est l'ordre de x^k? (La réponse est n/(k^n)

Comment fait t-on?

Merci

[Anonyme]

> Soit x element d'un groupe cyclique d'ordre n
> Quel est l'ordre de x^k? (La réponse est n/(k^n)
>
> Comment fait t-on?
Ce type de question se résout toujours de la même manière, en utilisant le
fait que x est d'ordre d ssi (x^m=0 => d|m).
Considérons donc l'équation (x^k)^d=0.
(x^k)^d=0
ssi x^(kd)=0
ssi n|kd (car x est d'ordre n)
Tu conclues en divisant des 2 côtés par pgcd(k,n).
--
Jérôme

[Anonyme]

> Ce type de question se résout toujours de la même manière, en utilisant le
> fait que x est d'ordre d ssi (x^m=0 => d|m).
> Considérons donc l'équation (x^k)^d=0.
> (x^k)^d=0
> ssi x^(kd)=0
> ssi n|kd (car x est d'ordre n)
> Tu conclues en divisant des 2 côtés par pgcd(k,n).

Pardonnez moi je n'arrive pas a conclure
n|kd donc kd=qn et ensuite?

[Anonyme]

> Pardonnez moi je n'arrive pas a conclure
> n|kd donc kd=qn et ensuite?

n|kd, donc n/pgcd(k,n) | k/pgcd(k,n)*d
Or n/pgcd(k,n) et k/pgcd(k,n) sont premiers entre eux et le lemme de Gauss
te permet de conclure que n|kd est équivalent à n/pgcd(k,n) |d.
--
Jérôme

[Anonyme]

"GG" wrote in message news:...[color=green]
> > Soit x element d'un groupe cyclique d'ordre n
> > Quel est l'ordre de x^k? (La réponse est n/(k^n)
> >
> > Comment fait t-on?
> Ce type de question se résout toujours de la même manière, en utilisant le
> fait que x est d'ordre d ssi (x^m=0 => d|m).
> Considérons donc l'équation (x^k)^d=0.
> (x^k)^d=0
> ssi x^(kd)=0
> ssi n|kd (car x est d'ordre n)
> Tu conclues en divisant des 2 côtés par pgcd(k,n).[/color]

ceci n'est pas vrais pour tout elemnet de G(groupe cyclique) mais pour
un element qui engendre le groupe G= pour dire qu'il est d'ordre n.

[Anonyme]

> ceci n'est pas vrais pour tout elemnet de G(groupe cyclique) mais pour
> un element qui engendre le groupe G= pour dire qu'il est d'ordre n.

Tu as raison, disons que ce que j'ai écrit est juste en remplaçant n par
l'ordre de x dans G.
--
Jérôme

[Anonyme]

Letitia wrote:
> Soit x element d'un groupe cyclique d'ordre n
> Quel est l'ordre de x^k? (La réponse est n/(k^n)
> Comment fait t-on?

Non, en fait
l'ordre de x^k est ord(x)/(pgcd(k, ord(x) )