équa dif 1er ordre

[Anonyme]

Bonjour, je suis des études d'informatiue et je ne suis pas un grand
connaisseur des mathématiques.
Or dans un des cours, il pleut des maths.

Pouvez-vosu m'aider à résoudre cette équa dif pour que je comprenne enfin
comment on procède.

y'(t) = a * e^bt - c * y

Pour commencer, j'ai résolu : y'(t)/y(t) = -c donc ln(y) = x^(-c) d'ou y =
e^(x^(-c))

Mais bon, je n'arrive pas à suivre et ce résultat m'intrigue.

On doit aboutir à : y(t) = e ^ (-ct) - e^ (-b)

merci pour votre aide

[Anonyme]

Louvino wrote:
> Bonjour, je suis des études d'informatiue et je ne suis pas un grand
> connaisseur des mathématiques.
> Or dans un des cours, il pleut des maths.
>
> Pouvez-vosu m'aider à résoudre cette équa dif pour que je comprenne enfin
> comment on procède.
>
> y'(t) = a * e^bt - c * y
>
> Pour commencer, j'ai résolu : y'(t)/y(t) = -c donc ln(y) = x^(-c) d'ou y =
> e^(x^(-c))

Une primitive de -c est -ct (t est la variable) et pas t^(-c).

> Mais bon, je n'arrive pas à suivre et ce résultat m'intrigue.
>
> On doit aboutir à : y(t) = e ^ (-ct) - e^ (-b)

Méthode :
- on résoud l'équa. diff. sans second membre y'+cy=0, les solutions
s'écrivent Ke^(-F(t)) (où F primitive de c/1=c) donc ici Ke^(-ct).

- on trouve une solution de y'(t) = a * e^bt - c * y

- on ajoute les deux réponses précédentes pour trouver toutes les
solutions de y'(t) = a * e^bt - c * y.

Ce qui me parait bizarre c'est que votre réponse ne comporte pas "a" et
pas de constantes (mon K). Votre énoncé semble incomplet.











y=e^(-ct) est donc une solution de

[Anonyme]

"Louvino" wrote
> Pouvez-vosu m'aider à résoudre cette équa dif pour que je comprenne enfin
> comment on procède.
>
> y'(t) = a * e^bt - c * y
>
> Pour commencer, j'ai résolu : y'(t)/y(t) = -c donc ln(y) = x^(-c) d'ou y =
> e^(x^(-c))
Cachez ce x que je ne saurais voir.. D'ou il vient?

Pour commencer, donc, et tu as raison pour ca, tu integres l'equation
homogene y'=-cy.
On obtient
y(t)=K e^(-ct)
ou K est une constante qui permet, notamment, de regler le cas des valeurs
negatives
(parce que, petite omisssion de ta part, y'/y=-c, ca veut dire |y|=-ct, il y
a une valeur absolue dans l'histoire)

> Mais bon, je n'arrive pas à suivre et ce résultat m'intrigue.
>
> On doit aboutir à : y(t) = e ^ (-ct) - e^ (-b)
Je ne crois pas.

Bon, on a la solution de l'equation homogene. Pour trouver la solution
generale, on doit lui adjoindre une solution particuliere de l'equation non
homogene y'=a e^(bt)-cy
Pour ce faire, une bonne solution: la variation de la constante. Le
principe, c'est de considerer la constante K qu'on vient de trouver, comme
une variable, c'est a dire, une fonction du temps. Le but, c'est donc de
trouver une fonction k(t) telle que y(t)=k(t) e^(-ct) soit solution de
l'equation differentielle non homogene.

Pour verifier ca, on derive cette nouvelle equation:
y'=k'(t)e^(-ct)-ck(t)e^(-ct)
et on substitue ce y' et y(t)=k(t)e^(-ct) dans l'equation non homogene
(j'omets la dependance en t, mais n'oublies pas que k et y sont fonctions de
t):
k'e^(-ct)-cke^(-ct) = a e^(bt)-cke^(-ct)
Miracle, les -cke^(-ct) s'annulent (c'est toujours le cas), et il nous reste
k'e^(-ct)=ae^(bt)
soit
k'=ae^{(b+c)t}
Maintenant, on integre k', et on obtient
k(t)=ae^{(b+c)t}/(b+c)
On a presque fini.. La solution generale est la somme de la solution de
l'equation homogene et d'une solution particuliere de l'equation non
homogene, et donc
y(t)=(k(t)+K)e^{-ct}
=( ae^{(b+c)t}/(b+c)+K)e^{-ct}

La constante K est ensuite ce que tu va utiliser si au lieu de l'equation,
on te donne un probleme de Cauchy a resoudre (c'est a dire, une equation et
une condition initiale). En effet, mettons que la condition initiale soit
donnee en t=0, alors on a
y(0)=a/(b+c)+K
et donc
K=y(0)-a/(b+c)