équations différentielles 2nd ordre

[Anonyme]

Bonjour,

j'ai à résoudre l'équa.diff : xy'' - 2(x+1)y' + 2y = 0.

1) j'indique que la résolution peut se faire sur R+* ou R-*
2) je trouve une solution particulière polynomiale : P=x+1; j'utilise alors
la variation de la constante : je cherche les solutions y en posant
y(x)=(x+1)*u(x) mais là, il faut que je suppose que x est différent de -1
pour continuer, non ?? mais dans le corrigé de cet exo, ce cas n'est pas
étudié et les solutions finales sont données sur R+* ou R-*.

Comment faire ? Merci de votre aide.
evelyne

[Anonyme]

wwbj3 a écrit :
> Bonjour,
>
> j'ai à résoudre l'équa.diff : xy'' - 2(x+1)y' + 2y = 0.
>
> 1) j'indique que la résolution peut se faire sur R+* ou R-*
> 2) je trouve une solution particulière polynomiale : P=x+1; j'utilise alors
> la variation de la constante : je cherche les solutions y en posant
> y(x)=(x+1)*u(x) mais là, il faut que je suppose que x est différent de -1
> pour continuer, non ?? mais dans le corrigé de cet exo, ce cas n'est pas
> étudié et les solutions finales sont données sur R+* ou R-*.

En quoi x=-1 est un problème ?
De toute façon, fait tes calculs sans vraiment te préoccuper de la
validité de ce que tu écris (à la physicienne...), et trouve une autre
fonction solution sur les intervalles qui vont bien (R+* ou R-*). Bien
sûr, au final ta fonction solution devra bien être définie sur
l'intervalle en question et vérifier l'équation. La théorie des équa
diffs linéaires te permet de conclure pour trouver l'ensemble des solutions.
Sur R+* ou R-* on doit trouver pour l'espace des solutions un ev de
dimension 2...

[Anonyme]

la méthode de variation de la constante suppose de connaître une solution
particulière ne s'annulant pas sur I...

"Nougy" a écrit dans le message de
news:424eb259$0$13637$636a15ce@news.free.fr...
> wwbj3 a écrit :[color=green]
> > Bonjour,
> >
> > j'ai à résoudre l'équa.diff : xy'' - 2(x+1)y' + 2y = 0.
> >
> > 1) j'indique que la résolution peut se faire sur R+* ou R-*
> > 2) je trouve une solution particulière polynomiale : P=x+1; j'utilise[/color]
alors[color=green]
> > la variation de la constante : je cherche les solutions y en posant
> > y(x)=(x+1)*u(x) mais là, il faut que je suppose que x est différent[/color]
de -1[color=green]
> > pour continuer, non ?? mais dans le corrigé de cet exo, ce cas n'est[/color]
pas[color=green]
> > étudié et les solutions finales sont données sur R+* ou R-*.
>
> En quoi x=-1 est un problème ?
> De toute façon, fait tes calculs sans vraiment te préoccuper de la
> validité de ce que tu écris (à la physicienne...), et trouve une autre
> fonction solution sur les intervalles qui vont bien (R+* ou R-*). Bien
> sûr, au final ta fonction solution devra bien être définie sur
> l'intervalle en question et vérifier l'équation. La théorie des équa
> diffs linéaires te permet de conclure pour trouver l'ensemble des[/color]
solutions.
> Sur R+* ou R-* on doit trouver pour l'espace des solutions un ev de
> dimension 2...

[Anonyme]

wwbj3 a écrit :
> la méthode de variation de la constante suppose de connaître une solution
> particulière ne s'annulant pas sur I...

Certes.
Je te propose alors une méthode avec le wronskien.
Une équation vérifiée par le wronskien de 2 solutions est xW'-2(x+1)W=0
(voir ton cours pour la définition du wronskien)
Tu trouves alors un wronskien particulier non nul
Ensuite tu cherches une solution y qui vérifie wronskien(y, 1+x)=le
wronskien particulier que tu as trouvé. Cette solution et la solution
1+x forment une base des solutions de ton équations (sur I)
Si tu comprends rien à ce que j'ai écrit, ben va voir ton prof pour lui
demander quelle méthode il propose pour résoudre cet exo


>
> "Nougy" a écrit dans le message de
> news:424eb259$0$13637$636a15ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>wwbj3 a écrit :
>>[color=darkred]
>>>Bonjour,
>>>
>>>j'ai à résoudre l'équa.diff : xy'' - 2(x+1)y' + 2y = 0.
>>>
>>>1) j'indique que la résolution peut se faire sur R+* ou R-*
>>>2) je trouve une solution particulière polynomiale : P=x+1; j'utilise[/color]
>
> alors
>[color=darkred]
>>>la variation de la constante : je cherche les solutions y en posant
>>>y(x)=(x+1)*u(x) mais là, il faut que je suppose que x est différent[/color]
>
> de -1
>[color=darkred]
>>>pour continuer, non ?? mais dans le corrigé de cet exo, ce cas n'est[/color]
>
> pas
>[color=darkred]
>>>étudié et les solutions finales sont données sur R+* ou R-*.
>>
>>En quoi x=-1 est un problème ?
>>De toute façon, fait tes calculs sans vraiment te préoccuper de la
>>validité de ce que tu écris (à la physicienne...), et trouve une autre
>>fonction solution sur les intervalles qui vont bien (R+* ou R-*). Bien
>>sûr, au final ta fonction solution devra bien être définie sur
>>l'intervalle en question et vérifier l'équation. La théorie des équa
>>diffs linéaires te permet de conclure pour trouver l'ensemble des[/color]
>
> solutions.
>
>>Sur R+* ou R-* on doit trouver pour l'espace des solutions un ev de
>>dimension 2...
>
>
>[/color]

[Anonyme]

le prof a fait la variation de la constante à partir de (x+1) et c'est ça
qui me gêne...




"Nougy" a écrit dans le message de
news:424f07c6$0$17294$636a15ce@news.free.fr...
> wwbj3 a écrit :[color=green]
> > la méthode de variation de la constante suppose de connaître une[/color]
solution[color=green]
> > particulière ne s'annulant pas sur I...
>
> Certes.
> Je te propose alors une méthode avec le wronskien.
> Une équation vérifiée par le wronskien de 2 solutions est xW'-2(x+1)W=0
> (voir ton cours pour la définition du wronskien)
> Tu trouves alors un wronskien particulier non nul
> Ensuite tu cherches une solution y qui vérifie wronskien(y, 1+x)=le
> wronskien particulier que tu as trouvé. Cette solution et la solution
> 1+x forment une base des solutions de ton équations (sur I)
> Si tu comprends rien à ce que j'ai écrit, ben va voir ton prof pour lui
> demander quelle méthode il propose pour résoudre cet exo
>
>
> >
> > "Nougy" a écrit dans le message de
> > news:424eb259$0$13637$636a15ce@news.free.fr...
> >[color=darkred]
> >>wwbj3 a écrit :
> >>
> >>>Bonjour,
> >>>
> >>>j'ai à résoudre l'équa.diff : xy'' - 2(x+1)y' + 2y = 0.
> >>>
> >>>1) j'indique que la résolution peut se faire sur R+* ou R-*
> >>>2) je trouve une solution particulière polynomiale : P=x+1; j'utilise
> >
> > alors
> >
> >>>la variation de la constante : je cherche les solutions y en posant
> >>>y(x)=(x+1)*u(x) mais là, il faut que je suppose que x est différent
> >
> > de -1
> >
> >>>pour continuer, non ?? mais dans le corrigé de cet exo, ce cas n'est
> >
> > pas
> >
> >>>étudié et les solutions finales sont données sur R+* ou R-*.
> >>
> >>En quoi x=-1 est un problème ?
> >>De toute façon, fait tes calculs sans vraiment te préoccuper de la
> >>validité de ce que tu écris (à la physicienne...), et trouve une autre
> >>fonction solution sur les intervalles qui vont bien (R+* ou R-*). Bien
> >>sûr, au final ta fonction solution devra bien être définie sur
> >>l'intervalle en question et vérifier l'équation. La théorie des équa
> >>diffs linéaires te permet de conclure pour trouver l'ensemble des
> >
> > solutions.
> >
> >>Sur R+* ou R-* on doit trouver pour l'espace des solutions un ev de
> >>dimension 2...
> >
> >
> >[/color][/color]

[Anonyme]

wwbj3 a écrit :
> le prof a fait la variation de la constante à partir de (x+1) et c'est ça
> qui me gêne...

Bon, comme je le disais plus haut, peu importe le moyen employé, si tu
trouves 2 fonctions indépendantes (dont le wronskien en 1 point est non
nul par exemple) et solutions de ton équation, elles forment une base
des solutions sur I