[LST sem2] Espace vectoriel, dimension

[Anonyme]

Bonjour,

Soit E un espace vectoriel quelconque sur R et (V1,V2,V3) une famille libre
de E.

Que peut-on dire sur la dimension de E ?

J'ai envie de dire qu'elle est supérieure ou égale à 3 en justifiant par la
propriété (que j'invente un peu) que toute partie libre d'un K-espace
vectoriel, ayant n éléments, est une partie d'un K-espace vectoriel de
dimension supérieure ou égale à n.

Ai-je raison ? et est-ce que ma justification est convenable ? Que me
proposez-vous ?

Merci pour votre aide, je débute avec les espace vectoriels (mais j'avance
qd même...)

JD

[Anonyme]

JD a écrit :
> Bonjour,
>
> Soit E un espace vectoriel quelconque sur R et (V1,V2,V3) une famille libre
> de E.
>
> Que peut-on dire sur la dimension de E ?
Si je ne dis pas de bêtises :
Propriété : si n+1 vecteurs sont chacun combinaison linéaire de n autres
vecteurs (fixés), alors les n+1 vecteurs forment un famille liée (cf.
cours de MPSI).
On en déduit que s'il existe une famille génératrice formée de n
vecteurs, toute famille de n+1 vecteurs est liée, donc toute famille
libre comporte au plus n vecteurs.
D'où : s'il existe une famille libre formée de n vecteurs, toute famille
génératrice en comporte au moins n (par l'absurde sur le résultat
précédent).
Ainsi si la dimension de E existe, elle est au moins égale à 3 (puisque
toute base de E est nécessairement génératrice, donc comporte au moins 3
vecteurs).

Cordialement,
--
Gabriel Kerneis (un p'tit DS demain matin sur les espaces vectoriels,
que du bonheur...)