Espace vectoriel SUP

[Anonyme]

bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice pouvez vous m'expliquer ? merci
d'avance

soit E un K espace vectoreil et (u,v) appartient L(E) deux endomorphismes
qui commutent :
u o v = v o u
a) Mq Im u et Ker u sont stables par v, cad v(ker u) inclu dans ker u et
v(Im u) inclu dans Im u
b) si on suppose que E = ker u + (c'est un "+ "dans un cercle) ker v, mq
Im u inclu dans ker v et Im v inclu dans ker u
c) soit p un projecteur de E mq u et p commutent ssi Imp et ker p sont
stables par u

[Anonyme]

> soit E un K espace vectoreil et (u,v) appartient L(E) deux endomorphismes
> qui commutent :
> u o v = v o u
> a) Mq Im u et Ker u sont stables par v, cad v(ker u) inclu dans ker u et
> v(Im u) inclu dans Im u

si x app à Ker(u) alors u(x) = 0 dc v(u(x)) = v(0)=0 mais comme u et v
commutent v(u(x)) = u(v(x)) dc u(v(x)) = 0 dc v(x) app Ker(u) donc Ker(u)
est stable par v.

si y app à Im(u) alors EXI x tq u(x)=y donc v(y) = v(u(x)) = u(v(x)) donc
v(y) app à Im(u) donc Im(u) est stable par v.

> b) si on suppose que E = ker u + (c'est un "+ "dans un cercle) ker v, mq
> Im u inclu dans ker v et Im v inclu dans ker u

Soit y dans Im(u). Mq v(y) = 0. EXI x / y = u(x). Donc v(y) = v(u(x)) =
u(v(x)). si x = a + b avec a dans ker(u) et b dans ker(v) alors v(x) = v(a)
+ v(b) = v(a) mais a est dans ker(u) donc v(a) aussi d'apres la premiere
question donc u(v(a)) = 0 donc u(v(x)) = v(y) = 0 donc c'est bon !

L'autre inclusion est la meme par symetrie.

> c) soit p un projecteur de E mq u et p commutent ssi Imp et ker p sont
> stables par u

=> : c'est la premiere question
<= : on sait que si p est un projecteur, Im(p) et Ker(p) sont
supplémentaires.
On veut montrer que uop = pou. Mq que uov-vou = 0. Soit x dans E, on va
montrer que u(p(x)) - p(u(x)) appartient à la fois à Im(p) et Ker(p).

On a p( u(p(x)) - p(u(x)) ) = p(u(p(x))) - p(p(u(x))). Mais p^2 = p puisque
p est un projecteur donc p( u(p(x)) - p(u(x)) ) = p(u(p(x))) - p(u(x)) = p(
u(p(x) - u(x) ) = p(u( p(x) - x)). Mais p(x) - x appartient à Ker(p) donc
u( p(x) - x) aussi par stabilité. On a donc bien p( u(p(x)) - p(u(x)) ) = 0

De plus u(p(x)) appartient à Im(p) car Im(p) est stable par u. Mais p(u(x))
aussi. Donc u(p(x)) - p(u(x)) appartient à Im(p) (car c'est un sev)

Donc u(p(x)) - p(u(x)) est à la fois dans l'Im et le Ker qui sont
sumpplémentaires donc est nul donc u et p commutent !


Voila !

--
Nheryvra

[Anonyme]

flo wrote:

>
> soit E un K espace vectoreil et (u,v) appartient L(E) deux endomorphismes
> qui commutent :

> a) Mq Im u et Ker u sont stables par v

1.
Soit x dans Im u
il existe y dans E tq x=u(y)
et v(x)=v(u(y))=u(v(y)) appartient à Im u
Donc Im u est stable par v.

2.
Soit x dans Ker u
u(v(x))=v(u(x))=v(0)=0
alors v(x) appartient à ker u
Donc Ker u est stable par v.



> b) si on suppose que E = ker u + (c'est un "+ "dans un cercle) ker v, mq
> Im u inclu dans ker v et Im v inclu dans ker u


Soit y dans Im v
il existe x dans E tq y=v(x)
il existe (xu,xv) de Ker u x Ker v unique tq x=xu+xv (cf Ker u et Ker v
supplémentaires)

on a v(x)=v(xu+xv)=v(xu)+0
et u(y)=u(v(x))=u(v(xu))=v(u(xu))=v(0)=0
donc y appartient à ker u
Donc Im v inclus dans ker u.

-idem pour im u inclus dans ker v en permutant u et v

> c)soit p un projecteur de E mq u et p commutent ssi Imp et ker p sont
stables par u

1. u et p commutent => Imp et ker p sont stables par u
cf a)

2. Imp et ker p sont stables par u => u et p commutent

pour tt x de E, x=p(x)+x-p(x)
avec p(x) dans Im p et x-p(x) dans Ker p
u(x)=u(p(x))+u(x-p(x)) avec u(p(x)) dans Im p et u(x-p(x)) dans Ker p
(cf stabilité)
alors p(u(x))=p(u(p(x)))=u(p(x)) (cf u(p(x)) appartient à Im p)

Donc u et p commutent.


--
Pierre-Yves

[Anonyme]

Pierre-Yves wrote:

> flo wrote:
>[color=green]
>>
>> soit E un K espace vectoreil et (u,v) appartient L(E) deux endomorphismes
>> qui commutent :
>
>
>> a) Mq Im u et Ker u sont stables par v
>
>
> 1.
> Soit x dans Im u
> il existe y dans E tq x=u(y)
> et v(x)=v(u(y))=u(v(y)) appartient à Im u
> Donc Im u est stable par v.
>
> 2.
> Soit x dans Ker u
> u(v(x))=v(u(x))=v(0)=0
> alors v(x) appartient à ker u
> Donc Ker u est stable par v.
>
>
>
>> b) si on suppose que E = ker u + (c'est un "+ "dans un cercle) ker v, mq
>> Im u inclu dans ker v et Im v inclu dans ker u
>
>
>
> Soit y dans Im v
> il existe x dans E tq y=v(x)
> il existe (xu,xv) de Ker u x Ker v unique tq x=xu+xv (cf Ker u et Ker v
> supplémentaires)
>
> on a v(x)=v(xu+xv)=v(xu)+0
> et u(y)=u(v(x))=u(v(xu))=v(u(xu))=v(0)=0
> donc y appartient à ker u
> Donc Im v inclus dans ker u.
>
> -idem pour im u inclus dans ker v en permutant u et v
>
>> c)soit p un projecteur de E mq u et p commutent ssi Imp et ker p sont
>
> stables par u
>
> 1. u et p commutent => Imp et ker p sont stables par u
> cf a)
>
> 2. Imp et ker p sont stables par u => u et p commutent
>
> pour tt x de E, x=p(x)+x-p(x)
> avec p(x) dans Im p et x-p(x) dans Ker p
> u(x)=u(p(x))+u(x-p(x)) avec u(p(x)) dans Im p et u(x-p(x)) dans Ker p
> (cf stabilité)
> alors p(u(x))=p(u(p(x)))=u(p(x)) (cf u(p(x)) appartient à Im p)[/color]


(et p projecteur)
>
> Donc u et p commutent.
>
>