Espace Vect

[Anonyme]

bonjour je bute sur cet exercice et j'aurai besoin de votre aide

Soit E un espace vectoriel de dimension 3n
soit f appartenant à L(E) vérifiant
rg(f)=2n
f^3+f=0

Montrer l'exsitence d"une base où la matrice de f est

(On On On)
(On On In)
(On -In On)

[Anonyme]

> bonjour je bute sur cet exercice et j'aurai besoin de votre aide
>
> Soit E un espace vectoriel de dimension 3n
> soit f appartenant à L(E) vérifiant
> rg(f)=2n
> f^3+f=0
>
> Montrer l'exsitence d"une base où la matrice de f est
>
> (On On On)
> (On On In)
> (On -In On)

Déjà, le théorème du rang: Ker(f) est de dimension n.
Ensuite, on peut montrer que Ker(f) et Im(f) sont supplémentaires dans E: si
x appartient à Ker(f) et Im(f), on a d'une part l'existence d'un y tel que
f(y)=x, et d'autre part f(x)=0. Comme f^3+f=0, on a f^3(y)=-f(y), soit
f^2(x)=-x. Comme f(x)=0, f^2(x)=0, donc x=0.
Im(f) est donc un supplémentaire de Ker(f) dans E, et il est stable par f.
De plus, l'endomorphisme de Im(f) induit par f (notons le g) est un
automorphisme, donc de g^3+g=0 on déduit g^2=-Id.
Après, pour trouver une base de Im(f) dans laquelle la matrice de g est:
( 0 I)
(-I 0)
on peut par exemple remarquer que, pour tout x, -g(x) est un antécédent de
x... Je te laisse finir la rédaction.

--
Mû

[Anonyme]

"µ" a écrit dans le message de news:
41dadd52$0$2736$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> bonjour je bute sur cet exercice et j'aurai besoin de votre aide
>>
>> Soit E un espace vectoriel de dimension 3n
>> soit f appartenant à L(E) vérifiant
>> rg(f)=2n
>> f^3+f=0
>>
>> Montrer l'exsitence d"une base où la matrice de f est
>>
>> (On On On)
>> (On On In)
>> (On -In On)
>
> Déjà, le théorème du rang: Ker(f) est de dimension n.
> Ensuite, on peut montrer que Ker(f) et Im(f) sont supplémentaires dans E:
> si x appartient à Ker(f) et Im(f), on a d'une part l'existence d'un y tel
> que f(y)=x, et d'autre part f(x)=0. Comme f^3+f=0, on a f^3(y)=-f(y), soit
> f^2(x)=-x. Comme f(x)=0, f^2(x)=0, donc x=0.
> Im(f) est donc un supplémentaire de Ker(f) dans E, et il est stable par f.
> De plus, l'endomorphisme de Im(f) induit par f (notons le g) est un
> automorphisme, donc de g^3+g=0 on déduit g^2=-Id.
> Après, pour trouver une base de Im(f) dans laquelle la matrice de g est:
> ( 0 I)
> (-I 0)
> on peut par exemple remarquer que, pour tout x, -g(x) est un antécédent de
> x... Je te laisse finir la rédaction.
>
> --
> Mû
>[/color]
au risque de paraître ridicule .... pourrais tu me finir la rédaction car je
vois ce qu'il faut faire mais je ne parviens pas à l'exprimer proprement.
merci

[Anonyme]

> au risque de paraître ridicule .... pourrais tu me finir la rédaction car
je
> vois ce qu'il faut faire mais je ne parviens pas à l'exprimer proprement.

Aucune question n'est ridicule........... si on y a réfléchit un peu quand
même : = )

Si n=1, alors Im(f) est de dimension 2 tu choisis un vecteur x non nul dans
Im(f) et tu montres que (x,f(x)) est libre (sinon f(x) est colinéaire à x
donc f(x)=ax, tu composes par a, ce qui te donne a^2+1=0, ce qui est
impossible)

Si n=2, alors (x,f(x)) étant choisi, tu prend un vecteur y dans Im(f) et
n'appartenant pas à Vect(x,f(x)) (donc Vect(x,f(x),y) est de dimension 3) et
tu montres que (x,f(x),y,f(y)) est libre, ce qui revient à dire que f(y)
n'est pas une combinaison linéaire E1 de (x,f(x),y). En composant par f
cette combinaison linéaire, tu obtiens une seconde combinaison linéaire
(E2). Une combinaison linéaire convenable de E1 et E2 te donne une
combinaison linéaire de (x,f(x),y) donc tous les coefficients correspondants
sont nuls, donc la combinaison linéaire E1 est impossible donc
(x,f(x),y,f(y)).

Si n=3, etc ..... (tu le fais à la main et lorsque tu aboutis, procède par
itération, en explicitant le cas n=k et en montrant comment on obtient
explicitant le cas n=k+1)

Essaie ainsi et si tu n'y arrives franchement pas, la correction est là :

http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/spe/pdf/mpplus/2004_2005/corr
ige_colle04_algebre_lineaire.pdf

Mathématiquement vôtre

*******************************
http://www.mathematiques.fr.st
******************************

[Anonyme]

> au risque de paraître ridicule .... pourrais tu me finir la rédaction car
> je vois ce qu'il faut faire mais je ne parviens pas à l'exprimer
> proprement.
> merci

Si on se réfère à la charte, j'en ai déjà trop dit... Le but du forum n'est
pas de faire les exercices à la place des gens!
Tout le monde n'arrive pas toujours à faire tous les exercices, mais si on
en donne, c'est pour que les gens s'exercent.
Déjà, la partie que j'ai détaillée te semble-t-elle claire ou pas?

--
Mû