Bonjour,
Dans mon cours il est dit : Pour tout espace métrique X,
Ø et X sont à la fois des ouverts et des fermés. Vrai ?
Plus loin il est dit : Toute partie d'un espace métrique est
un espace métrique. Vrai ?
Cela me paraît incohérent.
Merci par avance
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
Espace métrique
14 messages
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Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
Le Sun, 19 Oct 2003 18:07:46 +0200,
Pierre Capdevila grava à la saucisse et au marteau:
> Bonjour,
>
> Dans mon cours il est dit : Pour tout espace métrique X,
> Ø et X sont à la fois des ouverts et des fermés. Vrai ?
Vivi.
> Plus loin il est dit : Toute partie d'un espace métrique est
> un espace métrique. Vrai ?
Une partie E d'un espace métrique X est ouverte et fermée dans E, mais pas
dans X.
--
Genji, qui espère que ses souvenirs de 3 ans sont pas faux.
L'homme n'était pas grand, la femme était maigre. Il était blême, elle
était blafarde. Tous deux vêtus de noir, ils semblaient porter
ironiquement le deuil de leur santé. -- Sacha Guitry
Pierre Capdevila grava à la saucisse et au marteau:
> Bonjour,
>
> Dans mon cours il est dit : Pour tout espace métrique X,
> Ø et X sont à la fois des ouverts et des fermés. Vrai ?
Vivi.
> Plus loin il est dit : Toute partie d'un espace métrique est
> un espace métrique. Vrai ?
Une partie E d'un espace métrique X est ouverte et fermée dans E, mais pas
dans X.
--
Genji, qui espère que ses souvenirs de 3 ans sont pas faux.
L'homme n'était pas grand, la femme était maigre. Il était blême, elle
était blafarde. Tous deux vêtus de noir, ils semblaient porter
ironiquement le deuil de leur santé. -- Sacha Guitry
Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
Nicolas Le Roux a écrit
> Une partie E d'un espace métrique X est ouverte
> et fermée dans E, mais pas dans X.
Ah bon ? Par exemple si on prend dans R² muni de
la distance habituelle la partie E définie par x >= 0
et y >= 0 (c'est à dire le premier quadrant) alors E
est un espace métrique ouvert ?
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
> Une partie E d'un espace métrique X est ouverte
> et fermée dans E, mais pas dans X.
Ah bon ? Par exemple si on prend dans R² muni de
la distance habituelle la partie E définie par x >= 0
et y >= 0 (c'est à dire le premier quadrant) alors E
est un espace métrique ouvert ?
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
> Ah bon ? Par exemple si on prend dans R² muni de
> la distance habituelle la partie E définie par x >= 0
> et y >= 0 (c'est à dire le premier quadrant) alors E
> est un espace métrique ouvert ?
Ca ne veut rien dire: E est ouvert ou (inclusif) fermé _dans_ quelquechose.
Dans ton exemple, E n'est pas ouvert dans R^2, mais est ouvert dans E pour
la distance induite.
--
Maxi
> la distance habituelle la partie E définie par x >= 0
> et y >= 0 (c'est à dire le premier quadrant) alors E
> est un espace métrique ouvert ?
Ca ne veut rien dire: E est ouvert ou (inclusif) fermé _dans_ quelquechose.
Dans ton exemple, E n'est pas ouvert dans R^2, mais est ouvert dans E pour
la distance induite.
--
Maxi
Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
Pierre Capdevila a écrit :
>
> Bonjour,
>
> Dans mon cours il est dit : Pour tout espace métrique X,
> Ø et X sont à la fois des ouverts et des fermés. Vrai ?
Ca dépend de la définition des ouverts et fermés dans ton espace
métrique, mais si on pose simplement "la topologie est celle engendrée
par les boules ouvertes", ça devient evident, par définition même d'une
topologie.
> Plus loin il est dit : Toute partie d'un espace métrique est
> un espace métrique. Vrai ?
Il suffit de vérifier que la distance sur le grand espace, restreinte au
petit, est toujours une distance.
> Cela me paraît incohérent.
Je ne vois pas l'incohérence (sauf que si tu penses à "la partie est
fermée et ouverte dans l'espace entier", alors ton espace est
non-connexe, mais il ne faut pas voir "fermé et ouvert" dans ce sens là)
--
Nico. *Note: Changement d'adresse email progressif*
J'abandonne "youngfrog at webchat.org" pour privilégier
"theonewiththeevillook at yahoo.fr". Si vous possédez mon adresse
hotmail, veuillez également préférer celle @yahoo.fr Merci!
>
> Bonjour,
>
> Dans mon cours il est dit : Pour tout espace métrique X,
> Ø et X sont à la fois des ouverts et des fermés. Vrai ?
Ca dépend de la définition des ouverts et fermés dans ton espace
métrique, mais si on pose simplement "la topologie est celle engendrée
par les boules ouvertes", ça devient evident, par définition même d'une
topologie.
> Plus loin il est dit : Toute partie d'un espace métrique est
> un espace métrique. Vrai ?
Il suffit de vérifier que la distance sur le grand espace, restreinte au
petit, est toujours une distance.
> Cela me paraît incohérent.
Je ne vois pas l'incohérence (sauf que si tu penses à "la partie est
fermée et ouverte dans l'espace entier", alors ton espace est
non-connexe, mais il ne faut pas voir "fermé et ouvert" dans ce sens là)
--
Nico. *Note: Changement d'adresse email progressif*
J'abandonne "youngfrog at webchat.org" pour privilégier
"theonewiththeevillook at yahoo.fr". Si vous possédez mon adresse
hotmail, veuillez également préférer celle @yahoo.fr Merci!
Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
> > Dans mon cours il est dit : Pour tout espace métrique X,[color=green]
> > Ø et X sont à la fois des ouverts et des fermés. Vrai ?
>
> Ca dépend de la définition des ouverts et fermés dans ton espace
> métrique, mais si on pose simplement "la topologie est celle engendrée
> par les boules ouvertes", ça devient evident, par définition même d'une
> topologie.[/color]
De toute manière, pour toute topologie, on impose que vide et X sont
ouverts, et puis quand on parle d'espace métrique sans dire plus, c'est
forcément qu'on met la topologie engendrée par les boules ouvertes.
--
Maxi
> > Ø et X sont à la fois des ouverts et des fermés. Vrai ?
>
> Ca dépend de la définition des ouverts et fermés dans ton espace
> métrique, mais si on pose simplement "la topologie est celle engendrée
> par les boules ouvertes", ça devient evident, par définition même d'une
> topologie.[/color]
De toute manière, pour toute topologie, on impose que vide et X sont
ouverts, et puis quand on parle d'espace métrique sans dire plus, c'est
forcément qu'on met la topologie engendrée par les boules ouvertes.
--
Maxi
Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
Nicolas Richard a écrit
> Je ne vois pas l'incohérence (sauf que si tu penses
> à "la partie est fermée et ouverte dans l'espace
> entier", alors ton espace est non-connexe, mais il
> ne faut pas voir "fermé et ouvert" dans ce sens là)
D'accord, mais j'ai du mal à voir cela.
Par exemple si on prend dans R² muni de la distance
habituelle la partie E définie par x >= 0 et y >= 0.
Pour vérifier que E est un ouvert (lui tout seul dans lui-
même) j'applique la définition.
Pour tout point (x,y) de E il doit exister une boule ouverte
de centre (x,y) et de rayon non nul. Si je prend par exemple
le point (0,0) existe-t-il une telle boule ?
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
> Je ne vois pas l'incohérence (sauf que si tu penses
> à "la partie est fermée et ouverte dans l'espace
> entier", alors ton espace est non-connexe, mais il
> ne faut pas voir "fermé et ouvert" dans ce sens là)
D'accord, mais j'ai du mal à voir cela.
Par exemple si on prend dans R² muni de la distance
habituelle la partie E définie par x >= 0 et y >= 0.
Pour vérifier que E est un ouvert (lui tout seul dans lui-
même) j'applique la définition.
Pour tout point (x,y) de E il doit exister une boule ouverte
de centre (x,y) et de rayon non nul. Si je prend par exemple
le point (0,0) existe-t-il une telle boule ?
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
> Pour tout point (x,y) de E il doit exister une boule ouverte
> de centre (x,y) et de rayon non nul. Si je prend par exemple
> le point (0,0) existe-t-il une telle boule ?
Ben oui, la boule de centre (0,0) et de rayon 1 par exemple: c'est
l'ensemble des éléments de E qui sont à une distance inférieure à 1 de
(0,0), et ils sont tous dans E... par définition.
--
Maxi
> de centre (x,y) et de rayon non nul. Si je prend par exemple
> le point (0,0) existe-t-il une telle boule ?
Ben oui, la boule de centre (0,0) et de rayon 1 par exemple: c'est
l'ensemble des éléments de E qui sont à une distance inférieure à 1 de
(0,0), et ils sont tous dans E... par définition.
--
Maxi
Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
Maxi a écrit
> Ca ne veut rien dire: E est ouvert ou (inclusif) fermé _dans_
quelquechose.
> Dans ton exemple, E n'est pas ouvert dans R^2, mais est ouvert dans E pour
> la distance induite.
Oui je me doute que tu as raison puisque c'est
écrit dans mon cours. J'aimerais seulement
quelques explications car je ne vois pas pourquoi
il existe toujours une boule de rayon non nul autour
de tout point.
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
> Ca ne veut rien dire: E est ouvert ou (inclusif) fermé _dans_
quelquechose.
> Dans ton exemple, E n'est pas ouvert dans R^2, mais est ouvert dans E pour
> la distance induite.
Oui je me doute que tu as raison puisque c'est
écrit dans mon cours. J'aimerais seulement
quelques explications car je ne vois pas pourquoi
il existe toujours une boule de rayon non nul autour
de tout point.
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
Maxi a écrit
> Ben oui, la boule de centre (0,0) et de rayon 1 par exemple: c'est
> l'ensemble des éléments de E qui sont à une distance inférieure à 1 de
> (0,0), et ils sont tous dans E... par définition.
OK je te remercie j'ai compris. La boule a une drôle
de forme dans ce coin là ;o)
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
> Ben oui, la boule de centre (0,0) et de rayon 1 par exemple: c'est
> l'ensemble des éléments de E qui sont à une distance inférieure à 1 de
> (0,0), et ils sont tous dans E... par définition.
OK je te remercie j'ai compris. La boule a une drôle
de forme dans ce coin là ;o)
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
Je ne sais pas si tu as déjà fait de la topologie générale, mais en tout
cas, je crois que tu suis des TDs
.
Donc, si tu as un espace topologie X quelconque (ie un ensemble dont on
explique ce que sont les ouverts et les fermés), il est toujours vrai
que X tout entier et l'ensemble vide sont à la fois ouverts et fermés.
Il est également toujours vrai que si E est un sous-ensemble de X, E
hérite d'une topologie : les ouverts de cette topologie sont les ensembles
de la forme (U inter E) où U est un ouvert de X ; c'est ce que l'on
appelle la topologie trace. En particulier, pour cette topologie sur E,
E est ouvert (car il s'écrit X inter E) même s'il ne l'était pas dans
la topologie définie sur X.
Maintenant pour les espaces métriques, c'est exactement pareil, mais il y
a deux façons de voir les choses. Une métrique sur un ensemble X définit
une topologie, comme tu dois le savoir. On dit que U est ouvert dans X
si pour tout x dans U, il existe eps>0, tel que la boule ouverte de centre
x et de rayon eps soit totalement incluse dans X.
Maintenant si E est une partie de X, E hérite directement d'une distance
(la restriction de celle que l'on a sur X). Il est remarquable de
constater que la topologie que cette distance définie sur E est exactement
la topologie induite sur E par la topologie de X (déduite de la distance
que l'on avait sur X). Autrement dit, les ouverts de E sont les ensembles
de la forme (U inter E), U ouvert de X. Propriété que tu peux t'amuser
à démontrer au demeurant ; c'est le premier exo de mon TD.
cas, je crois que tu suis des TDs
.Donc, si tu as un espace topologie X quelconque (ie un ensemble dont on
explique ce que sont les ouverts et les fermés), il est toujours vrai
que X tout entier et l'ensemble vide sont à la fois ouverts et fermés.
Il est également toujours vrai que si E est un sous-ensemble de X, E
hérite d'une topologie : les ouverts de cette topologie sont les ensembles
de la forme (U inter E) où U est un ouvert de X ; c'est ce que l'on
appelle la topologie trace. En particulier, pour cette topologie sur E,
E est ouvert (car il s'écrit X inter E) même s'il ne l'était pas dans
la topologie définie sur X.
Maintenant pour les espaces métriques, c'est exactement pareil, mais il y
a deux façons de voir les choses. Une métrique sur un ensemble X définit
une topologie, comme tu dois le savoir. On dit que U est ouvert dans X
si pour tout x dans U, il existe eps>0, tel que la boule ouverte de centre
x et de rayon eps soit totalement incluse dans X.
Maintenant si E est une partie de X, E hérite directement d'une distance
(la restriction de celle que l'on a sur X). Il est remarquable de
constater que la topologie que cette distance définie sur E est exactement
la topologie induite sur E par la topologie de X (déduite de la distance
que l'on avait sur X). Autrement dit, les ouverts de E sont les ensembles
de la forme (U inter E), U ouvert de X. Propriété que tu peux t'amuser
à démontrer au demeurant ; c'est le premier exo de mon TD
.Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
Pierre Capdevila a écrit :
> Pour tout point (x,y) de E il doit exister une boule ouverte
> de centre (x,y) et de rayon non nul. Si je prend par exemple
> le point (0,0) existe-t-il une telle boule ?
Oui, la boule {x dans E t.q. ||x-(0,0)||<1} est ouverte par exemple. Par
définition d'une boule ouverte (càd que x \in B(c,r) ssi d(x,c) < r)
Quand tu prends la topologie induite, il faut penser que tu prend les
traces des ouverts. Tu n'est donc pas obligé d'avoir les "bords flous"
que tu peux t'imaginer dans R^2, il peut y avoir des "bords net".
--
Nico.
> Pour tout point (x,y) de E il doit exister une boule ouverte
> de centre (x,y) et de rayon non nul. Si je prend par exemple
> le point (0,0) existe-t-il une telle boule ?
Oui, la boule {x dans E t.q. ||x-(0,0)||<1} est ouverte par exemple. Par
définition d'une boule ouverte (càd que x \in B(c,r) ssi d(x,c) < r)
Quand tu prends la topologie induite, il faut penser que tu prend les
traces des ouverts. Tu n'est donc pas obligé d'avoir les "bords flous"
que tu peux t'imaginer dans R^2, il peut y avoir des "bords net".
--
Nico.
Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
> OK je te remercie j'ai compris. La boule a une drôle
> de forme dans ce coin là ;o)
Si tu savais la "forme" que peuvent avoir les boules pour des distances un
peu plus ésotériques
--
Maxi
> de forme dans ce coin là ;o)
Si tu savais la "forme" que peuvent avoir les boules pour des distances un
peu plus ésotériques
--
Maxi
Re: Espace métrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 15:53
On 2003-10-19, Xavier Caruso wrote:
> On dit que U est ouvert dans X
> si pour tout x dans U, il existe eps>0, tel que la boule ouverte de centre
> x et de rayon eps soit totalement incluse dans X.
Ton clavier t'a joué un tour:
"totalement incluse dans U"
--
Enlevez pasde, pub et .invalid de mon adresse e-mail.
Tutoriel Slrn: http://perso.wanadoo.fr/vincent.couquiaud/slrn.html
> On dit que U est ouvert dans X
> si pour tout x dans U, il existe eps>0, tel que la boule ouverte de centre
> x et de rayon eps soit totalement incluse dans X.
Ton clavier t'a joué un tour:
"totalement incluse dans U"
--
Enlevez pasde, pub et .invalid de mon adresse e-mail.
Tutoriel Slrn: http://perso.wanadoo.fr/vincent.couquiaud/slrn.html
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