Martin wrote:
> Bonjour,
>
> J'ai deux vecteur tangent (derivp{}{téta} et derivp{}{phi} en un point p
> de ma sphère (coordonnée sphérique de la sphère).Je sens que je vais devoir faire un effort.
> J'utilise précisemment la carte (homéomorphisme) pour la sphère (sauf le
> pôle nord) :
> F: (téta, phi) -> ( cos(phi)cos(téta), cos(phi)sin(téta), sin(phi) )
> Et à partir de ça, j'aimerais retrouver le fait que la métrique de
> l'espace tangent à ma sphère au point p dans la base des vecteurs
> tangent peut s'écrire :
> G(téta, phi) =
> (Matrice)
> [ cos²(téta), 0 ; 0 , 1 ]
>
> (le ';' représentant le changement de ligne).
> Voilà. Si vous avez une idée 
>
> D'avance merci
>
> --
> MartinBon alors. On a une variété riemannienne qui est la sphère, i.e. il y a
une sorte de produit scalaire local en tout point.
Bref, on a un C-\omega - difféomorphisme
Carte -------> Sphère sauf le pôle.
Le truc c'est donc de ramener ton "champ de produits scalaires" de la
sphère sur ta carte. Dans des bouquins un peu évolués, c'est la
technique dite du pull-back.
(En Licence à Paris VI, ils avaient un joli cours sur les variétés
différentiables. Monsieur Vaugon je crois. Peut-être qu'il est
disponible sur Internet.)
Revenons à notre pull-back. On est un point Q sur la carte. Et il y a
deux vecteurs "attachés en Q". Tu transporte tout ça sur la sphère. Tu
calcule le produit scalaire (qui n'est RIEN d'autre que le produit
scalaire de l'espace ambiant R^3 dans lequel est plongée ta sphère). Et
normalement, là tu obtiens ta matrice.
Détaillons un peu avec les mains.
Dans la carte, on est en Q=(Theta=T,Phi=P), et soit un vecteur de
déplacement infinitésimal (dT,dP). A quoi correspond ce déplacement sur
la sphère.
On fait une approximation au premier ordre).
(T+dT,P+dP) d'envoie sur (cos(P+dP)cos(T+dT),cos(P+dP)sin(T+dT),sin(P+dP))=
((cos(P)-dP*sin(P))*(cos(T)-dT*sin(T)),(cos(P)-dP*sin(P))*(sin(T)+dT*cos(T)),sin(P)+dP*cos(P))=
(cos(P)cos(T),cos(P)sin(T),sin(P))+(-dP*sin(P)cos(T)-dT*cos(P)sin(T),-dP*sin(P)sin(T)+dT*cos(P)cos(T),dP*cos(P))
Matriciellement, le déplacement sur la sphère est (avec tes notations)
[-cosPsinT,-sinPcosT;cosPcosT,-sinPsinT;0,cosP] * [dT;dP]
Notons A cette matrice de "passage".
Comme le produit scalaire dans R^3 est représenté par la matrice 3*3
Identité, il nous faut, pour exprimer le produit scalaire dans la carte,
calculer (A^t)*A (A^t est la transposée).
En haut à gauche: (-cosPsinT)^2+(cosPcosT)^2+0^2=cos^P
En haut à droite: (-cosPsinT)(-sinPcosT)+(cosPcosT)(-sinPsinT)+0*cosP=0
En bas à gauche: idem.
En bas à droite: (-sinPcosT)^2+(-sinPsinT)^2+(cosP)^2=1
Ce qu'il fallait montrer.
Si ça ne te plais pas, dis-moi quel est ton niveau pour que j'utilise le
langage adapté.
