Espace de Banach

[Anonyme]

Je dois montrer que l1 est un espace de Banach.
Je considère donc une suite de Cauchy de cet ensemble et montre qu'elle y
converge.
Mais quel type de sute dois-je choisir : une suite en tant qu'élément de l1
ou une suite d'une suite de l1.
Merci de votre aide

[Anonyme]

> une suite d'une suites de l1.

Evidemment O.

[Anonyme]

> Je dois montrer que l1 est un espace de Banach.
> Je considère donc une suite de Cauchy de cet ensemble et montre qu'elle y
> converge.

Attention, il est important de préciser la norme puisqu'il s'agit d'un
espace de dimension infinie et que donc les normes ne sont pas toutes deux à
deux équivalentes. l1 peut être complet pour une certaine norme et ne pas
être complet pour une autre norme.

l1 étant l'espace des suites à valeurs dans lK sommables (càd, si on note
(u_n) une suite dans lK, (u_n) est dans l1 lorsque la série de terme général
|u_n| converge).
La norme la plus naturelle associée à cet espace est bien entendu || (u_n)
||_1 = somme des |u_n|.
Mais on peut définir d'autres normes sur l1, par exemple la norme "infinie"
: || (u_n) ||_oo = sup({ |u_n|, n dans lN }). Cette norme est bien définie
sur l1, car si la série de terme général u_n est absolument convergente,
alors la suite (u_n) converge vers 0, et toute suite convergente est bornée.
Lorsque tu auras montré que (l1, || ||_1) est complet, un bon deuxième
exercice sera de montrer que (l1, || ||_oo) *n'est pas* complet : je
t'invite à le faire.

> Mais quel type de sute dois-je choisir : une suite en tant qu'élément de
l1
> ou une suite d'une suite de l1.
> Merci de votre aide

Il faut prendre une suite à valeurs dans l1, c'est-à-dire que chaque valeur
de la suite est une suite dans lR, en faisant attention à ne pas se perdre
dans les notations.