Equivalent simple de la série des impairs

[Anonyme]

C'est une "simple" question au milieu d'un DL ... Mais elle sert de base
aux suivantes... je suis donc bloqué pour l'instant
On cherche l'équivalent quand n -> infini de somme(1/(2k+1),k = 1 à n ).
Je me dis que ça ne doit pas être si compliqué ... et j'ai bien essayé
de faire la moitié de la somme des entiers mais ça ne vient pas comme je
veux ...

Merci d'avance pour vos réponses ...
PS: si vous pouviez insister sur la méthode à appliquer, je pense qu'il
me manque un théorème que je devrais avoir en tête ...

[Anonyme]

leptit a écrit :
> C'est une "simple" question au milieu d'un DL ... Mais elle sert de base
> aux suivantes... je suis donc bloqué pour l'instant
> On cherche l'équivalent quand n -> infini de somme(1/(2k+1),k = 1 à n ).
> Je me dis que ça ne doit pas être si compliqué ... et j'ai bien essayé
> de faire la moitié de la somme des entiers mais ça ne vient pas comme je
> veux ...
>
> Merci d'avance pour vos réponses ...
> PS: si vous pouviez insister sur la méthode à appliquer, je pense qu'il
> me manque un théorème que je devrais avoir en tête ...

erratum : Il fallait lire "la somme des 1/k" et non "la somme des entiers"

[Anonyme]

> C'est une "simple" question au milieu d'un DL ... Mais elle sert de base
> aux suivantes... je suis donc bloqué pour l'instant
> On cherche l'équivalent quand n -> infini de somme(1/(2k+1),k = 1 à n ).
> Je me dis que ça ne doit pas être si compliqué ... et j'ai bien essayé de
> faire la moitié de la somme des entiers mais ça ne vient pas comme je veux
> ...
>
> Merci d'avance pour vos réponses ...
> PS: si vous pouviez insister sur la méthode à appliquer, je pense qu'il me
> manque un théorème que je devrais avoir en tête ...

Non non...
Somme(1/k ; k=1..2n)=Somme(1/k ; k=1..2n, k impair)+Somme(1/k ; k=1..2n, k
pair)
=Somme(1/(2l+1) ; l=0..n-1)+Somme(1/(2l) ; l=1..n).
Or Somme(1/(2l) ; l=1..n)=(1/2) * Somme(1/(l) ; l=1..n)
On a donc:
Somme(1/(2l+1) ; l=0..n-1)=Somme(1/(l) ; l=n+1..2n)+(1/2)*Somme(1/(l) ;
l=1..n).
Le premier terme de la somme tend vers ln(2) (sommes de Riemann par exemple,
mais on peut se contenter de vérifier qu'elle est majorée par 1), et le
deuxième est équivalent à ln(n)/2 (encadrement par des intégrales), donc la
somme est équivalente à ln(n)/2.

--
Mû

[Anonyme]

µ a écrit :[color=green]
>>C'est une "simple" question au milieu d'un DL ... Mais elle sert de base
>>aux suivantes... je suis donc bloqué pour l'instant
>>On cherche l'équivalent quand n -> infini de somme(1/(2k+1),k = 1 à n ).
>>Je me dis que ça ne doit pas être si compliqué ... et j'ai bien essayé de
>>faire la moitié de la somme des entiers mais ça ne vient pas comme je veux
>>...
>>
>>Merci d'avance pour vos réponses ...
>>PS: si vous pouviez insister sur la méthode à appliquer, je pense qu'il me
>>manque un théorème que je devrais avoir en tête ...
>
>
> Non non...
> Somme(1/k ; k=1..2n)=Somme(1/k ; k=1..2n, k impair)+Somme(1/k ; k=1..2n, k
> pair)
> =Somme(1/(2l+1) ; l=0..n-1)+Somme(1/(2l) ; l=1..n).
> Or Somme(1/(2l) ; l=1..n)=(1/2) * Somme(1/(l) ; l=1..n)
> On a donc:
> Somme(1/(2l+1) ; l=0..n-1)=Somme(1/(l) ; l=n+1..2n)+(1/2)*Somme(1/(l) ;
> l=1..n).
> Le premier terme de la somme tend vers ln(2) (sommes de Riemann par exemple,
> mais on peut se contenter de vérifier qu'elle est majorée par 1), et le
> deuxième est équivalent à ln(n)/2 (encadrement par des intégrales), donc la
> somme est équivalente à ln(n)/2.
>[/color]
merci ... de m'avoir repondu bien sûr mais aussi pour votre rapidité à
le faire !

[Anonyme]

Encore plus simple : somme des 1/k equivalente a ln(n)
somme des 1/2k = 1/2 somme des 1/k
equivalente a ln(n)/2

Donc somme des 1/(2k+1) équivalente à ln(2)-ln(2)/2=ln(2)/2 (On peut sommer
les équivalents parce que ca diverge)

[Anonyme]

oups c la mm solution...

[Anonyme]

bucou wrote:
> Encore plus simple : somme des 1/k equivalente a ln(n)
> somme des 1/2k = 1/2 somme des 1/k
> equivalente a ln(n)/2
>
> Donc somme des 1/(2k+1) équivalente à ln(2)-ln(2)/2=ln(2)/2 (On peut sommer
> les équivalents parce que ca diverge)

Evite d'utiliser "on peut sommer parce que ça diverge". Ca fait un peu
recette. Utiliser plutôt les o de Landau.

Somme pour k=1...2n des 1/k = ln(2n) + o(ln(2n)) = ln(n) +o(ln(n))
Somme pour k=1...n des 1/2k = ln(n)/2 + o(ln(n)).

La différence est alors ln(n)/2+o(ln(n)).

L'avantage, c'est que même quand ca diverge pas, tu peux écrire

(1/x+o(1/x))-(1/2x+o(1/x))=1/2x+o(1/x)

Guillaume Yziquel

[Anonyme]

"Guillaume Yziquel" a écrit dans le message de
news: 421a62c0$0$21875$626a14ce@news.free.fr...
> bucou wrote:[color=green]
>> Encore plus simple : somme des 1/k equivalente a ln(n)
>> somme des 1/2k = 1/2 somme des 1/k
>> equivalente a ln(n)/2
>>
>> Donc somme des 1/(2k+1) équivalente à ln(2)-ln(2)/2=ln(2)/2 (On peut
>> sommer
>> les équivalents parce que ca diverge)
>
> Evite d'utiliser "on peut sommer parce que ça diverge". Ca fait un peu
> recette. Utiliser plutôt les o de Landau.
>
> Somme pour k=1...2n des 1/k = ln(2n) + o(ln(2n)) = ln(n) +o(ln(n))
> Somme pour k=1...n des 1/2k = ln(n)/2 + o(ln(n)).
>
> La différence est alors ln(n)/2+o(ln(n)).[/color]

Et si on met des o(1) partout, ça marche encore?

[Anonyme]

>> Somme pour k=1...2n des 1/k = ln(2n) + o(ln(2n)) = ln(n) +o(ln(n))[color=green]
>> Somme pour k=1...n des 1/2k = ln(n)/2 + o(ln(n)).
>>
>> La différence est alors ln(n)/2+o(ln(n)).
>
> Et si on met des o(1) partout, ça marche encore?[/color]

Non, car c'est faux: (Somme de k=1 à 2n de 1/k)-ln(2n) est une suite
convergente de limite non nulle (la constante d'Euler,
gamma=0.5572156649...).

--
Mû

[Anonyme]

"µ" a écrit dans le message de news:
421f1814$0$1249$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green][color=darkred]
>>> Somme pour k=1...2n des 1/k = ln(2n) + o(ln(2n)) = ln(n) +o(ln(n))
>>> Somme pour k=1...n des 1/2k = ln(n)/2 + o(ln(n)).
>>>
>>> La différence est alors ln(n)/2+o(ln(n)).
>>
>> Et si on met des o(1) partout, ça marche encore?[/color]
>
> Non, car c'est faux: (Somme de k=1 à 2n de 1/k)-ln(2n) est une suite
> convergente de limite non nulle (la constante d'Euler,
> gamma=0.5572156649...).[/color]

Oui, mais si on écrit que sum_1^n 1/k - ln(n) = gamma+o(1), et qu'on fait le
calcul en se trimbalant le gamma et les o(1), est-ce que c'est juste?

[Anonyme]

>> Non, car c'est faux: (Somme de k=1 à 2n de 1/k)-ln(2n) est une suite[color=green]
>> convergente de limite non nulle (la constante d'Euler,
>> gamma=0.5572156649...).
>
> Oui, mais si on écrit que sum_1^n 1/k - ln(n) = gamma+o(1), et qu'on fait
> le calcul en se trimbalant le gamma et les o(1), est-ce que c'est juste?[/color]

Là, oui.

--
Mû