MP:aide pour equivalent d'une intégrale

[Anonyme]

Je suis bloqué a cet exercice:
Trouver un equivalent de int ((f(t))^n, t=0..1) quand n tend vers +oo
avec f(t)=(1-t)*e^t.
On nous donne une indication : Montrer que pour tout a tq 00 tq pour t verifiant abs(t)0. Le probleme c'est que je ne sais pas quoi faire de l'intégrale qui
me reste: int (f(t)^n, t=0..b). L'encadrement de l'indication ne m'aide
pas beaucoup.

Pourriez vous m'aider?
Merci

[Anonyme]

"barbadchov" a écrit dans le message de news:
41d6d050$0$31939$626a14ce@news.free.fr...
> Je suis bloqué a cet exercice:
> Trouver un equivalent de int ((f(t))^n, t=0..1) quand n tend vers +oo
> avec f(t)=(1-t)*e^t.
> On nous donne une indication : Montrer que pour tout a tq 0 existe b>0 tq pour t verifiant abs(t) e^(-(t^2/2)*(1-a))
> J'ai reussi a montrer l'indication mais ensuite je ne sais pas quoi
> faire. J'ai fixé a tq 0 de 0 a b et l'autre de b a 1 (b existe d'apres l'indication). Ensuite
> j'arrive à montrer que int (f(t)^n, t=b..1) est un petit o de 1/n^k avec
> k>0. Le probleme c'est que je ne sais pas quoi faire de l'intégrale qui
> me reste: int (f(t)^n, t=0..b). L'encadrement de l'indication ne m'aide
> pas beaucoup.

Nous allons donner deux preuves, une basée sur l'indication, l'autre en
montrant que la singularité dans la convergence provient de t=0 pour lequel
le DL de t+ln(1-t) est de la forme -t^2/2 + o(t^2), puis en montrant, à
l'aide d'un changement de variable convenable que l'on peut se ramener au
cas de la fonction f(t)=exp(-t^2/2) sur un segment pour lequel le résultat
est trivial

Preuve issue de l'indication :

Fixons (provisoirement) a>0. Il existe b tel que
int(t=0 à b, e^(-(t^2/2)*n*(1-a)) dt (1-t)e^t est décroissante sur [0,1] (elle
réalise même une bijection de [0,1] sur [0,1]) donc
int(t=b à 1, (f(t))^n dt +oo et pour a fixé, les intégrales, int(t=0 à b*sqrt(n*(1-a)),
e^(-(t^2/2)) dt et int(t=0 à b*sqrt(n*(1+a)), e^(-(t^2/2)) dt tendent vers
int(t=0 à +oo, e^(-(t^2/2)) dt =sqrt(pi/2)

{\debut intermède}
formellement, le membre de gauche de (1) est équivalent à
sqrt(pi/[2*n*(1-a)]) et le membre de droite est équivalent et le membre de
sqrt(pi/[2*n*(1+a)])
En faisant ensuite tendre a vers 0, on obtient que le membre de gauche et de
droite disposent du même équivalent donc le membre du milieu aussi
L'objectif maintenant est de justifier ce raisonnement, ce qui nous allons
faire en travaillant à a fixé, ce qui nous fournira un n et on obtiendra
presque la définition de la convergence avec les epsilons
{\fin de l'intermède}

donc, en utilisant la définition de la convergence des suites avec les
epsilons et pour epsilon = a (pour l'instant a est fixé), il existe un
entier N (dépendant de a) tel que pour tout n>=N, on a :

(2) : sqrt(pi/2) -a 0 et f
strictement décroissante et bijective de [0,1] sur [0,1] ) donc
sqrt(n)*(f(b))^n -->0 (les suites géométriques imposent leur limite sur les
suites n^h)

La définition par les epsilons en choisissant epsilon = a (toujours fixé),
on l'existence d'un entier M (dépendant de b donc de a) tel que
pour tout n >= M, on a
(4) : sqrt(n) * (f(b))^n = K,
(1/sqrt(1-a)) * [ sqrt(pi/2) -a] = K,
sqrt(pi/2) -a + [(1/sqrt(1-a)) -1 ] * sqrt(pi/2) 0 fixé, on est assuré de l'existence de a>0 tel que
-e -a + [(1/sqrt(1-a)) -1 ] * sqrt(pi/2) et a-->a+
[(1/sqrt((1+a)) -1 ] *sqrt(pi/2) +a ] tendent vers 0 quand a tend vers 0)

pour ce choix de a, on a l'existence d'un entier K tel que
pour tout n >= K, on a
sqrt(pi/2) -e 0 au voisinage (droit) de 0 car g(0)=1
(en fait même sur [0,1] tout entier, mais cela n'est guère important) et
elle est strictement monotone au voisinage de 0 (car g'(0)=2/3 donc g'(t)>0
au voisinage de 0)
Soit [0,b] le voisinage (droit) de 0 sur lequel g est strictement positive
et strictement monotone.
Alors on peut effectuer le changement de variable u = h(t)= t*sqrt(g(t))
(celui qui permet de passer de
t + ln(1-t) = -t^2/2*g(t) à -u^2/2). Si k désigne la fonction réciproque de
h, on a t= k(u) donc dt = k'(u)*du

L'intégrale int(t=0 à b, (f(t))^n dt devient
int(t=0 à t=h(b), (exp(-u^2/2))^n * k'(u)*du)=int(t=0 à t=h(b),
(exp(-n*u^2/2)) * k'(u)*du)=

On effectue le changement de variable u(exp(-u^2/2)) * k'(u/sqrt(n))*indicatrice de
[0, h(b)*sqrt(n)) est majorée uniformément par rapport à n par la fonction
exp(-u^2/2)) puis utiliser que k'(0) = 1)

Ainsi
int(t=0 à b, (f(t))^n dt = int(t=0 à t=h(b), (exp(-u^2/2))^n * k'(u)*du) ~
(1/sqrt(n)) * int(t=0 à t=+oo, (exp(-u^2/2)) du)¨
Puisque int(t=b à 1, (f(t))^n dt converge vers 0 à une vitesse géométrique,
on a
int(t=0 à b, (f(t))^n dt ~ (1/sqrt(n)) * int(t=0 à t=+oo, (exp(-u^2/2)) du)¨

(cela peut généraliser à des fonctions f(t) de la forme
f(t)=exp(A*t^a+o(t^a)) et en ayant une unique singularité en 0






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[Anonyme]

"Masterbech" a écrit dans le message de news:
41d735e7$0$17837$8fcfb975@news.wanadoo.fr...

> Une autre preuve :

Pour info, l'autre preuve (la célèbre méthode de la phase stationnaire) peut
se généraliser en dimension r quelconque, en remplaçant n par un paramètre x
tendant vers l'infini et -t^2/2 par une une forme quadratique définie
négative. Elle sert beaucoup dans l'étude des spectres d'énergies
d'opérateurs (de systèmes physiques) intervenant en physique quantique avec
x=1/h, h constante de Planck tendant vers 0, ce que l'on appelle l'analyse
semi-classique ("passage de la mécanique classique à la mécanique quantique)

Par contre, lorsque la forme quadratique est seulement négative (mais
peut-être dégénéré, voire nulle), c'est bien plus complexe, et de façon
étonnante, des méthodes puissantes de géométrie algébrique permettent de
réduire le problème à des polynômes multivariables plus ou moins complexes
(plus que moins néanmoins). Par exemple,
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0403/0403007.pdf

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[Anonyme]

Masterbech wrote:
> "Masterbech" a écrit dans le message de news:
> 41d735e7$0$17837$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
>[color=green]
>>Une autre preuve :
>
>
> Pour info, l'autre preuve (la célèbre méthode de la phase stationnaire) peut
> se généraliser en dimension r quelconque, en remplaçant n par un paramètre x
> tendant vers l'infini et -t^2/2 par une une forme quadratique définie
> négative. Elle sert beaucoup dans l'étude des spectres d'énergies
> d'opérateurs (de systèmes physiques) intervenant en physique quantique avec
> x=1/h, h constante de Planck tendant vers 0, ce que l'on appelle l'analyse
> semi-classique ("passage de la mécanique classique à la mécanique quantique)
>
> Par contre, lorsque la forme quadratique est seulement négative (mais
> peut-être dégénéré, voire nulle), c'est bien plus complexe, et de façon
> étonnante, des méthodes puissantes de géométrie algébrique permettent de
> réduire le problème à des polynômes multivariables plus ou moins complexes
> (plus que moins néanmoins). Par exemple,
> http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0403/0403007.pdf
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