Un endomorphisme

[Anonyme]

Bonjour,

Je note tA la transposée de A, et A°=A barre.
Soit (A,B) une famille libre de Mn(C). Pour M dans Mn(C), on pose
f(M)=Tr(tM*A°)*B-Tr(tM*B°)*A

On demande de déterminer les valeurs propres de f et dire si f est
diagonalisable.
a est valeur propre de f alors f(M)=aM
et là j'ai essayé avec les matrices Eij mais ça ne donne rien d'autre que des
calculs inextricables.

Quelle est l'idée?

merci

[Anonyme]

"Wenceslas" a écrit dans le message de news:
> Je note tA la transposée de A, et A°=A barre.
> Soit (A,B) une famille libre de Mn(C). Pour M dans Mn(C), on pose
> f(M)=Tr(tM*A°)*B-Tr(tM*B°)*A
>
> On demande de déterminer les valeurs propres de f et dire si f est
> diagonalisable.

Le rang de f semble être 2 non (puisque (A,B) est libre...)
On utilise ici le produit scalaire de Frobenius (M,N)= Tr(M*tN°)
Et f(M)=(M,A)*B-(M,B)*A
Ker(f) est donc l'orthogonal de (tA°,tB°) (ou quelque chose comme ça..)
Ensuite, faut checrher les valeurs propres de la restriction de f au plan
Vect (A,B).

[Anonyme]

Wenceslas a écrit :
> Bonjour,
>
> Je note tA la transposée de A, et A°=A barre.
> Soit (A,B) une famille libre de Mn(C). Pour M dans Mn(C), on pose
> f(M)=Tr(tM*A°)*B-Tr(tM*B°)*A
>
> On demande de déterminer les valeurs propres de f et dire si f est
> diagonalisable.
> a est valeur propre de f alors f(M)=aM
> et là j'ai essayé avec les matrices Eij mais ça ne donne rien d'autre que des
> calculs inextricables.
>
> Quelle est l'idée?
>
> merci
>
>
>
Vect(A,B) est stable par f. La matrice 2*2 relativement à (A,B) de
l'endomorphisme induit est immédiate et ses termes sont des produits
scalaires de Frobenius (comme indiqué dans la première réponse). On peut
utiliseer les propriétés des produits scalaires pour conclure.