Trace et endomorphisme nilpotent

[Anonyme]

comment montrer que si (trace(uk)=o pour tout k>0 ), alors (u nilpotent)
(avec uk=u o u o u... o u)

[Anonyme]

"Franck" a écrit dans le message news:
3f8707af$0$3258$79c14f64@nan-newsreader-03.noos.net...
> comment montrer que si (trace(uk)=o pour tout k>0 ), alors (u nilpotent)
> (avec uk=u o u o u... o u)
>
>

Montrer d'abord que u n'est pas inversible puis récurrence facile.
Attention, il y a des conditions sur la caractéristique du corps.

[Anonyme]

"Franck" a écrit dans le message de news:
3f8707af$0$3258$79c14f64@nan-newsreader-03.noos.net...
> comment montrer que si (trace(uk)=o pour tout k>0 ), alors (u nilpotent)
> (avec uk=u o u o u... o u)

tu trigonalises dans une extension algébrique convenable, tu utilises les
relations coefficients-racines et tu obtient que toutes les vp de u sont
nuls cqfd (valable en caractéristique 0 sinon, tu auras des problèmes en
raison de certaines divisions issues des relations coeff-racines)

[Anonyme]

>comment montrer que si (trace(uk)=o pour tout k>0 ), alors (u nilpotent)
>(avec uk=u o u o u... o u)
>
>
>

les uk doivent être des endomorphismes d'un C-ev.

d'apres le theoreme fondamental u est trigonalisable. Si la trace des uk est
nulle, on a la matrice de chaque uk va être semblable à une matrice
triangulaire stricte (rien sur la diagonale.
Or les matrices nilpotentes sont exactement de cette forme(valeur propre=0).

ou autrement tu appelles ai les valeurs propres de A la matrice de u. Dans une
base adaptée A est triangulaire.
le systeme Tr(A^k)=0 s'exprime par

a1+...+an=0
a1²+...+an²=0

etc

d'où en matrice ça donne

t(Vandermonde(a1,...an))*Vectcolm(a1,...an)=0

Vandermonde etant inversible, donc c l'autre qui est nul, soit a1=...=an=0
les valeurs propres sont toutes nulles.

[Anonyme]

"Wenceslas" a écrit dans le message de
news:20031011130302.24920.00000181@mb-m17.aol.com...[color=green]
> >comment montrer que si (trace(uk)=o pour tout k>0 ), alors (u nilpotent)
> >(avec uk=u o u o u... o u)
> >
> >
> >
>
> les uk doivent être des endomorphismes d'un C-ev.
>
> d'apres le theoreme fondamental u est trigonalisable. Si la trace des uk[/color]
est
> nulle, on a la matrice de chaque uk va être semblable à une matrice
> triangulaire stricte (rien sur la diagonale.
Je ne suis pas sûr. Si la trace de u^k est nulle elle est seulement
semblable à une matrice de diagonale nulle.

> ou autrement tu appelles ai les valeurs propres de A la matrice de u. Dans
une
> base adaptée A est triangulaire.
> le systeme Tr(A^k)=0 s'exprime par
>
> a1+...+an=0
> a1²+...+an²=0
>
> etc
>
> d'où en matrice ça donne
>
> t(Vandermonde(a1,...an))*Vectcolm(a1,...an)=0
>
> Vandermonde etant inversible, donc c l'autre qui est nul, soit a1=...=an=0
> les valeurs propres sont toutes nulles.
Si par exemple a1=a2, Vandertmonde(a1,..an) n'est pas inversible.

[Anonyme]

oui c'est justement la problème, gt bien arrivé à la résolution du système
proposé par Wencesla mais je bloquais alors sur ce point, si le det de
vandermonde est non nul, no problème, on conclue, mais dans le cas
contraire, je n'arrive pas à finir la dem.
je sais que 2 valeur propres au moins sont égales, puis...

[Anonyme]

>oui c'est justement la problème, gt bien arrivé à la résolution du système
>proposé par Wencesla mais je bloquais alors sur ce point, si le det de
>vandermonde est non nul, no problème, on conclue, mais dans le cas
>contraire, je n'arrive pas à finir la dem.
>je sais que 2 valeur propres au moins sont égales, puis...
>

d'abord pour repondre à la question d'avant, j'avais precisé que
j'endomorphisme u était sur un C-ev et non pas un Rev, dans lequel cas ça ne
marcherait pas.

Pour les valeurs propres, en effet je n'avais pas precisé. Si l'on a une
famille de valeurs propres comportant des termes égaux, ce n'est qu'un probleme
de multiplicité des valeurs propres. soient les mi les ordres de multiplicité
de chaque ai, dans l'ecriture Tr(A^k)=0 on aura alors p valeurs propres deux à
deux dinstinctes, d'ordre de multiplicité respectives m1,...mp

la matrice de Vandermonde est alors V(1,a1,...ap) et la matrice colonne des
valeurs propres= t( m1*a1,...mp*ap)

[Anonyme]

effectivement, c'est astucieux, merci beaucoup...
@plus