Endomorphisme

[Anonyme]

Bonjour,

On a A dans M3(R) telle que Sp(A)={-2,2,4}. On considere l'endomorphisme f de
M3(R) tel que f(M)=AMA.
Montrer que f est diagonalisable.

Alors j'ai regardé les puissances de f, en ecrivant A=PDP^-1, qui n'a rien de
spécial.
puis j'ai essayé de regarder ce que ça donne pour les matrices elementaires
mais le gros produit AMA me parait inextricable.

avez vous une idée?

merci

[Anonyme]

Wenceslas a écrit :

> Bonjour,
>
> On a A dans M3(R) telle que Sp(A)={-2,2,4}. On considere l'endomorphisme f de
> M3(R) tel que f(M)=AMA.
> Montrer que f est diagonalisable.
>
> Alors j'ai regardé les puissances de f, en ecrivant A=PDP^-1, qui n'a rien de
> spécial.
> puis j'ai essayé de regarder ce que ça donne pour les matrices elementaires
> mais le gros produit AMA me parait inextricable.

C'est pourtant une bonne méthode.
A est diagonalisable puisque 3 valeurs propres distinctes.
Tu te places dans une base propre de A qui vaut alors diag(-2,2,4)
Tu calcules f(E_ij) et tu remarques que f(E_ij) = a_ij.E_ij
donc est matrice (vecteur) propre de f pour la valeur propre a_ij (qu'il
faut calculer)
Comme E_ij est une base de M3(R), dans cette base f est diagonale.

Alain

[Anonyme]

"Wenceslas" a écrit dans le message de news:
20031225120816.14277.00001807@mb-m28.aol.com...
> Bonjour,
>
> On a A dans M3(R) telle que Sp(A)={-2,2,4}. On considere l'endomorphisme f
de
> M3(R) tel que f(M)=AMA.
> Montrer que f est diagonalisable.
>
> Alors j'ai regardé les puissances de f, en ecrivant A=PDP^-1, qui n'a rien
de
> spécial.
> puis j'ai essayé de regarder ce que ça donne pour les matrices
elementaires
> mais le gros produit AMA me parait inextricable.

f est le composé de l'endo g(M)=AM et de l'endo h(M)=MA avec f=hog=goh
trouve un polynôme anulateur de g (g^k(M)=A^kM) idem pour h
En déduire que g et h sont diagonalisables
Montrer que tout vecteur propre de g est vecteur propre pour h.
En déduire que f est diagonalisable (un sous-espace propre E(a) pour g est
stable par h, tu considères l'endo h restreint à E(a), il est
diagonalisable, tu sélectionnes une base de vecteurs propres pour cet endo
restrient, tu fais varier a, tu concatènes les bases, ce qui te donne une
base de vecteurs propres pour h et en réfléchissant trois secondes ceux sont
tous des vecteurs propres de g)