Endomorphisme nilpotent

[Anonyme]

on cherche à montrer que si trace(u^k)=0 pour tout k de N-{0}
a lors u nilpotent.
pour cela il faut prouver à l'aide du det de vandermonde que si
Somme(ai^k)=0 pour tout k, alors les ai sont tous nuls ( les ai st les vp de
u)
Comment faire, on obtient bien le systeme AX=0
ou det A=det Vandermonde et X(a1,..an) mais comment conclure ?

[Anonyme]

>on cherche à montrer que si trace(u^k)=0 pour tout k de N-{0}
>a lors u nilpotent.
>pour cela il faut prouver à l'aide du det de vandermonde que si
>Somme(ai^k)=0 pour tout k, alors les ai sont tous nuls ( les ai st les vp de
>u)
>Comment faire, on obtient bien le systeme AX=0
>ou det A=det Vandermonde et X(a1,..an) mais comment conclure ?
>

Tu as A=transposée de la matrice vandermonde des ai. La matrice colonne X est
t(a1,...an)
Tu veux montrer que si AX=0 alors X=0, soit que A est inversible.

Supposons d'abord que u admet des valeurs propres deux à deux distinctes, on a
donc automatiquement A inversible, d'où tous les ai nuls.

Si les valeurs propres ne sont pas toutes simples, on note bi l' ordre de
multiplicité de ai, on a alors p valeurs propres deux à deux distinctes(p<n)

Ici AX=0 est tel que A=

1 ..... 1
b1a1..... bpap
................................

b1a1^(n-1) .........bnan^(n-1)

et X= t(b1a1 .............bnan)

A est toujours une matrice de Vandermonde, donc les biai sont nuls. Oraucun des
bi n'est nul (valeur propre de multiplicité 0 ça le fait pas trop) donc ce sont
les ai qui sont tous nuls.

[Anonyme]

ok merci