Endomorphisme diagonalisable?

[Anonyme]

Bonjour,

On considere E=Rn[X] et L l'application qui a P associe L(P)=X^n*P(1/X)

Montrer que c'est un endo diago de E.

En regardant les degrés c'est bien un endomorphisme. Ne sachant pas trop quelle
caracterisation utiliser, je cherche les valeurs propres de L:

L(P)=mP avec P(X)=Sum(ak*X^k,k=0..n)

On a Sum(ak*X^n-k,k=0..n)=Sum(m*ak*X^k,k=0..n)
avec un changement de variable et par identification sur la base canonique,
j'obtiens:

pour k dans [0,n], mk=a_n-k/a_k

si les mk sont deux à deux distincts on aura gagné, L est diago.
Mais comment faire lorsque ce n'est pas le cas?

merci

[Anonyme]

> On considere E=Rn[X] et L l'application qui a P associe L(P)=X^n*P(1/X)
>
> Montrer que c'est un endo diago de E.
>

A la matrice de L dans la base canonique, on a A^2-I = 0, polynôme minimal
scindé simple, donc L diagonalisable.