Encore une question d'algèbre...

[Anonyme]

Bonjour,
Encore une fois j'aurai besoin de quelques éclaircissements sur un point en
algèbre, et encore une fois il se peut que ça soit très stupide...
Lorsqu'on a :
rg (f|im g) = rg f ou encore rg (f°g)= rg f (f et g deux endomorphismes)
pourquoi peut on dire que f|im g est injective ?

[Anonyme]

moufle wrote:
> Bonjour,
> Encore une fois j'aurai besoin de quelques éclaircissements sur un point en
> algèbre, et encore une fois il se peut que ça soit très stupide...
> Lorsqu'on a :
> rg (f|im g) = rg f ou encore rg (f°g)= rg f (f et g deux endomorphismes)
> pourquoi peut on dire que f|im g est injective ?
>

Peut-on ?

Grmbl...

si g = id ?

Non....

[Anonyme]

> Peut-on ?
>
> Grmbl...
>
> si g = id ?
>
> Non....

mmh je crois qu'il doit manquer quelques explications, donc le but de l'exo
est de montrer que si f°g°f=f et que rg f = rg g on a g°f°g = g.
Donc si on compose f°g°f = f par g a droit on a f°(g°f°g) = f°g et donc on
pourra simplifier par f a gauche si la restriction de f à im g est
injective, il s'agit donc me montrer cela... pour ce faire on me dit qu'il
suffit de voir que rg(f°g) = rg f masi c'est justement là où je ne comprends
pas trop ....

Cela étant dit j'avais une autre solution utilisant le fait que g°f et f°g
soient des projecteurs, mais j'aimerai tout de même comprendre l'autre
solution...

merci pour votre aide.

[Anonyme]

moufle wrote:[color=green]
>>Peut-on ?
>>
>>Grmbl...
>>
>>si g = id ?
>>
>>Non....
>
>
> mmh je crois qu'il doit manquer quelques explications, donc le but de l'exo
> est de montrer que si f°g°f=f et que rg f = rg g on a g°f°g = g.
> Donc si on compose f°g°f = f par g a droit on a f°(g°f°g) = f°g et donc on
> pourra simplifier par f a gauche si la restriction de f à im g est
> injective, il s'agit donc me montrer cela... pour ce faire on me dit qu'il
> suffit de voir que rg(f°g) = rg f masi c'est justement là où je ne comprends
> pas trop ....[/color]

C'est un peu différent ici, étant donné que tu as précisé que rg(f) =
rg(g) au départ (et mon contre-exemple s'envole...).

En fait, l'argument clé est que rg(fog) = rg(g) ! (puisque rg(f) = rg(g)).

Veux-tu plus de détails ?

Hib.

[Anonyme]

> C'est un peu différent ici, étant donné que tu as précisé que rg(f) =
> rg(g) au départ (et mon contre-exemple s'envole...).
>
> En fait, l'argument clé est que rg(fog) = rg(g) ! (puisque rg(f) = rg(g)).

ah d'accord, en fait dans la correction c'était pas vraiment présenter de
façon à mettre en avant cela...

> Veux-tu plus de détails ?

euh oui je veux bien ça m'évitera d'avoir une explication pas claire que je
me ferai , merci d'avance.

[Anonyme]

moufle wrote:[color=green]
>>C'est un peu différent ici, étant donné que tu as précisé que rg(f) =
>>rg(g) au départ (et mon contre-exemple s'envole...).
>>
>>En fait, l'argument clé est que rg(fog) = rg(g) ! (puisque rg(f) = rg(g)).
>
>
> ah d'accord, en fait dans la correction c'était pas vraiment présenter de
> façon à mettre en avant cela...
>
>
>>Veux-tu plus de détails ?
>
>
> euh oui je veux bien ça m'évitera d'avoir une explication pas claire que je
> me ferai , merci d'avance.[/color]

Bon, assez maladroitement, ça fait bien longtemps que je n'ai plus fait
d'AL.

Un petit rappel : si f morphisme de E vers F, alors f injectif si et
seulement si rg(f) = dim(E). [tout ça en dimension finie, pour les
puristes].

Ici : f' = restriction de f à im(g). On a rg(f') = rg(fog) = rg(g) =
dim(im(g)).

Donc f' est injectif.

**

L'idée en gros : si f est injectif, il fabrique un espace image "aussi
gros" que l'espace de départ, et c'est réciproque. S'il fabrique une
image "plus petite", c'est qu'il a confondu des antécédents, et fi de
l'injectivité.

Hib.

[Anonyme]

> Bon, assez maladroitement, ça fait bien longtemps que je n'ai plus fait
> d'AL.
>
> Un petit rappel : si f morphisme de E vers F, alors f injectif si et
> seulement si rg(f) = dim(E). [tout ça en dimension finie, pour les
> puristes].
>
> Ici : f' = restriction de f à im(g). On a rg(f') = rg(fog) = rg(g) =
> dim(im(g)).
>
> Donc f' est injectif.
>
> **
>
> L'idée en gros : si f est injectif, il fabrique un espace image "aussi
> gros" que l'espace de départ, et c'est réciproque. S'il fabrique une image
> "plus petite", c'est qu'il a confondu des antécédents, et fi de
> l'injectivité.

merci de ton aide !