Encore des densités

[Anonyme]

Une autre question sur les densités :

J'ai une var U absolument continue, de densité de probabilité uniforme
sur ]-Pi/2 , Pi/2 [
et une autre var T dite de Cauchy, c'est-à-dire absolument continue et
de densité :
f_T(t) = 1/(Pi*(1+t²)) pour tout t réel.
On me demande de calculer les densités de sin(U) et de Z =
(1-T²)/(1+T²)
J'ai trouvé, en utilisant la méthode du thread précédent :
f_{sin(U)}(y) = 1/Pi * sqrt(1-y²) * 1_{[-1,1]}(y)
et f_Z(y) = 1/Pi * 1/sqrt(1-y²) * 1_{[-1,1]}(y) pour tout y réel.

La dernière question est : quel lien y a-t-il entre f_sin(U) et f_Z ?
Bon, on voit bien que le produit de ces deux densités est constant (et
vaut 1/Pi²).
Mais que peut-on dire de plus ?
Les deux variables sont indépendantes ?

Merci pour votre aide.

[Anonyme]

On Mon, 16 May 2005 18:12:35 +0200, "M." wrote:

>Une autre question sur les densités :
>
>J'ai une var U absolument continue, de densité de probabilité uniforme
>sur ]-Pi/2 , Pi/2 [
>et une autre var T dite de Cauchy, c'est-à-dire absolument continue et
>de densité :
>f_T(t) = 1/(Pi*(1+t²)) pour tout t réel.
>On me demande de calculer les densités de sin(U) et de Z =
>(1-T²)/(1+T²)
>J'ai trouvé, en utilisant la méthode du thread précédent :
>f_{sin(U)}(y) = 1/Pi * sqrt(1-y²) * 1_{[-1,1]}(y)
est-ce bien sûr ?
car si u est entre -1 et 1
P(sin(U)et f_Z(y) = 1/Pi * 1/sqrt(1-y²) * 1_{[-1,1]}(y) pour tout y réel.
>
>La dernière question est : quel lien y a-t-il entre f_sin(U) et f_Z ?
>Bon, on voit bien que le produit de ces deux densités est constant (et
>vaut 1/Pi²).[/color]
donc ma conclusion serait même densité,cad même loi
>Mais que peut-on dire de plus ?
>Les deux variables sont indépendantes ?
à mon avis , connaissant uniquement les densités de 2 va
on ne peut se prononcer sur leur indépendance : en fait il faut la loi
du couple
>Merci pour votre aide.
>
>

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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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[Anonyme]

(Alain Pichereau) avait prétendu :[color=green]
>> J'ai trouvé, en utilisant la méthode du thread précédent :
>> f_{sin(U)}(y) = 1/Pi * sqrt(1-y²) * 1_{[-1,1]}(y)
> est-ce bien sûr ?
> car si u est entre -1 et 1
> P(sin(U) et en dérivant on obtient la densité 1/Pi) * 1/sqrt(1-u^2)
>
> rem : (1/Pi) * sqrt(1-y²) ne peut être une densité car
> intégrée sur [-1;1] on n'obtient pas 1 , puisque en majorant la racine carrée par 1.[/color]

Effectivement l'intégrale vaut 1/2.
J'ai retrouvé mon erreur.
Finalement j'ai :
f_{sin(U)}(y) = 1/Pi * 1/sqrt(1-y²) * 1_{[-1,1]}(y)

Je trouve donc exactement la même densité pour sin(U) et pour Z.
Peut-on en déduire quelque chose ?

[Anonyme]

On Tue, 17 May 2005 18:56:12 +0200, "M." wrote:

>(Alain Pichereau) avait prétendu :[color=green][color=darkred]
>>> J'ai trouvé, en utilisant la méthode du thread précédent :
>>> f_{sin(U)}(y) = 1/Pi * sqrt(1-y²) * 1_{[-1,1]}(y)
>> est-ce bien sûr ?
>> car si u est entre -1 et 1
>> P(sin(U)> et en dérivant on obtient la densité 1/Pi) * 1/sqrt(1-u^2)
>>
>> rem : (1/Pi) * sqrt(1-y²) ne peut être une densité car
>> intégrée sur [-1;1] on n'obtient pas 1 , puisque > en majorant la racine carrée par 1.[/color]
>
>Effectivement l'intégrale vaut 1/2.
>J'ai retrouvé mon erreur.[/color]
donc je n'ai rien prétendu
>Finalement j'ai :
>f_{sin(U)}(y) = 1/Pi * 1/sqrt(1-y²) * 1_{[-1,1]}(y)
>
>Je trouve donc exactement la même densité pour sin(U) et pour Z.
>Peut-on en déduire quelque chose ?
d'un point de vue probabiliste je ne pense pas qu'on puisse dire grand
chose d'autre que le fait qu'elles ont la même loi
(elles peuvent être indépendantes ou pas )
par contre
personnellement je suis arrivé à même densité
en cherchant d'abord les fonctions de répartitions
pour sinU
c'est 0
puis sur ]-1;1[ c'est (Arcsinu+pi/2)/pi
puis 1
pour T
c'est 0
puis sur ]-1;1[ c'est (2/pi)*(pi/2-Arctan(rac((1-u)/(1+u))))
puis 1
et donc
2*Arctan(rac((1-u)/(1+u)))+Arcinu=pi/2

"marrant"

qui se prouve évidemment sans passer par les proba

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