Sup - polynomes (encore)

[Anonyme]

Salut à tous,

Une autre question cette fois, visant à démontrer une formule d'Euler :

On considére un polynome P(X) = (X + 1)^(2n+1) - (X - 1)^(2n+1). Factoriser
ce polynôme dans C.

Bon les racines sont les racines 2n+1-iémes de l'unité, y en a donc 2n+1 et
on factorise le polynome de la sorte (en notant les racines u1, u2, ... ) :

P(X) = (X - u1)(X - u2)...(X - u2n+1)

L'ennui c'est que j'ai la drôle d'impression que c'est totalement faux, vu
que si je m'amuse a developper P, en réalité les facteurs en puissance 2n+1
s'annulent non ?

Ensuite, deuxième question, montrer qu'il existe un polynôme Q tel que P(X)
= Q(X^2)

Comment montrer cette existence ?

[Anonyme]

Vincent Sprit a écrit:
> Salut à tous,
>
> Une autre question cette fois, visant à démontrer une formule d'Euler :
>
> On considére un polynome P(X) = (X + 1)^(2n+1) - (X - 1)^(2n+1). Factoriser
> ce polynôme dans C.
>
> Bon les racines sont les racines 2n+1-iémes de l'unité, y en a donc 2n+1 et

Ah bon ? comment tu trouves que a^(2n+1)=1 => (a+1)^(2n+1)=(a-1)^(2n+1)?

> Ensuite, deuxième question, montrer qu'il existe un polynôme Q tel que P(X)
> = Q(X^2)
>
> Comment montrer cette existence ?
>
>

[Anonyme]

"Vincent Sprit" a écrit dans le message de news:
40bf029f$0$21561$626a14ce@news.free.fr...
> Salut à tous,
>
> Une autre question cette fois, visant à démontrer une formule d'Euler :
>
> On considére un polynome P(X) = (X + 1)^(2n+1) - (X - 1)^(2n+1).
Factoriser
> ce polynôme dans C.
>
> Bon les racines sont les racines 2n+1-iémes de l'unité, y en a donc 2n+1
et
> on factorise le polynome de la sorte (en notant les racines u1, u2, ... )
:
>
> P(X) = (X - u1)(X - u2)...(X - u2n+1)
>
> L'ennui c'est que j'ai la drôle d'impression que c'est totalement faux, vu
> que si je m'amuse a developper P, en réalité les facteurs en puissance
2n+1
> s'annulent non ?
>
> Ensuite, deuxième question, montrer qu'il existe un polynôme Q tel que
P(X)
> = Q(X^2)

Idée :
Soit Q(X) = sum( a_k * X^k, k=0..n)
Alors Q(X^2) = sum(a_k * X^(2*k) , k=0..n)
Ca serait-t-y pas une bonne idée de voir si les coeff impairs de P sont nuls
?

Salut,

Pierre

[Anonyme]

"Vincent Sprit" a écrit dans le message de news:
> L'ennui c'est que j'ai la drôle d'impression que c'est totalement faux, vu
> que si je m'amuse a developper P, en réalité les facteurs en puissance
2n+1
> s'annulent non ?

OUI, va falloir revoir le calcul des racines d'un polynome vieux


> Ensuite, deuxième question, montrer qu'il existe un polynôme Q tel que
P(X)
> = Q(X^2)

C'est quoi un polynome pair? que dire de ses monômes de degré impair?

[Anonyme]

"Vincent Sprit" a écrit

> On considére un polynome P(X) = (X + 1)^(2n+1) - (X - 1)^(2n+1).
Factoriser
> ce polynôme dans C.
>
> Bon les racines sont les racines 2n+1-iémes de l'unité, y en a donc
2n+1 et
> on factorise le polynome de la sorte (en notant les racines u1, u2,
.... ) :
>
> P(X) = (X - u1)(X - u2)...(X - u2n+1)

Si x est racine, on a [(x+1)/(x-1)]^(2n+1) = 1 donc c'est (x+1)/(x-1)
qui est une racine de l'unité, u (différente de 1). Et donc x = (u +
1)/(u - 1).
Donc P(X) = (X - (u1 + 1)/(u1 - 1))...(X - (u2n + 1)/(u2n - 1))


>
> L'ennui c'est que j'ai la drôle d'impression que c'est totalement
faux, vu
> que si je m'amuse a developper P, en réalité les facteurs en puissance
2n+1
> s'annulent non ?
>
> Ensuite, deuxième question, montrer qu'il existe un polynôme Q tel que
P(X)
> = Q(X^2)
>
> Comment montrer cette existence ?


Accoupler les racines (2n+1)-ièmes de l'unité qui sont conplexes
conjuguées.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Erreur d'écriture les u1...etc étaient les racines du polynome, et pas
racines 2n+1-ièmes de l'unité

Mais ma grande question reste la question de la factorisation