Développement limité

[Anonyme]

Je cherche le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de
f(x)=exp(x)/(1+exp(x))
sans utiliser la formule de Taylor ni les compositions de DL.
merci

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[Anonyme]

On Sat, 14 Feb 2004 09:19:00 +0100, Zébulon wrote:
>Je cherche le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de
>f(x)=exp(x)/(1+exp(x))
>sans utiliser la formule de Taylor ni les compositions de DL.
>merci

Peux-tu préciser ? Je ne suis pas sur de comprendre la question.
Cela signifie-til que tu veux le DL sans utiliser les outils
permettant de le calculer ? Dans ce cas, à part revenir à la
définition, je ne vois pas trop...

[Anonyme]

Frederic avait soumis l'idée :
> On Sat, 14 Feb 2004 09:19:00 +0100, Zébulon wrote:[color=green]
>> Je cherche le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de
>> f(x)=exp(x)/(1+exp(x))
>> sans utiliser la formule de Taylor ni les compositions de DL.
>> merci
>
> Peux-tu préciser ? Je ne suis pas sur de comprendre la question.
> Cela signifie-til que tu veux le DL sans utiliser les outils
> permettant de le calculer ? Dans ce cas, à part revenir à la
> définition, je ne vois pas trop...[/color]
on peut utiliser les DL de exp(x), ln(1+x), sinx, 1/(1+x), cosx,
(1+x)^r et les opérations somme, produit, intégration, f(rx) et f(x^r).
c'est tout

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[Anonyme]

On Sat, 14 Feb 2004 10:03:03 +0100, Zébulon wrote:
>Frederic avait soumis l'idée :[color=green]
>> On Sat, 14 Feb 2004 09:19:00 +0100, Zébulon wrote:[color=darkred]
>>> Je cherche le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de
>>> f(x)=exp(x)/(1+exp(x))
>>> sans utiliser la formule de Taylor ni les compositions de DL.
>>> merci
>>
>> Peux-tu préciser ? Je ne suis pas sur de comprendre la question.
>> Cela signifie-til que tu veux le DL sans utiliser les outils
>> permettant de le calculer ? Dans ce cas, à part revenir à la
>> définition, je ne vois pas trop...[/color]
>on peut utiliser les DL de exp(x), ln(1+x), sinx, 1/(1+x), cosx,
>(1+x)^r et les opérations somme, produit, intégration, f(rx) et f(x^r).
>c'est tout[/color]

Ah je crois que j'ai compris. Dans ce cas, exp(x) =
1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3).

1/(1+exp(x)) = 1/(2+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3))
= 1/2 * 1/(1 + x/2 + x^2/4 + x^3/12 + o(x^3))
= 1/2 (1 - (x/2 + x^2/4 + x^3/12) + o(x^3)
+ (x/2 + x^2/4 + x^3/12 + o(x^3))^2
- (x/2 + x^2/4 + x^3/12 + o(x^3))^3
+ o(x^3))
= 1/2 (1 - x/2 - x^2/4 - x^3/12
+ x^2/4 + x^3/4
- x^3/8
- o(x^3))
= 1/2 (1 - x/2 + 7/24 x^3 + o(x^3))
Et il ne reste plus qu'à multiplier par un DL_3 de exp(x).
Bon, bien évidemment, à 99 %, mes calculs sont faux. M'enfin,
l'idée est là...

[Anonyme]

Frederic a présenté l'énoncé suivant :
> On Sat, 14 Feb 2004 10:03:03 +0100, Zébulon wrote:[color=green]
>> Frederic avait soumis l'idée :[color=darkred]
>>> On Sat, 14 Feb 2004 09:19:00 +0100, Zébulon wrote:
>>>> Je cherche le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de
>>>> f(x)=exp(x)/(1+exp(x))
>>>> sans utiliser la formule de Taylor ni les compositions de DL.
>>>> merci
>>>
>>> Peux-tu préciser ? Je ne suis pas sur de comprendre la question.
>>> Cela signifie-til que tu veux le DL sans utiliser les outils
>>> permettant de le calculer ? Dans ce cas, à part revenir à la
>>> définition, je ne vois pas trop...
>> on peut utiliser les DL de exp(x), ln(1+x), sinx, 1/(1+x), cosx,
>> (1+x)^r et les opérations somme, produit, intégration, f(rx) et f(x^r).
>> c'est tout[/color]
>
> Ah je crois que j'ai compris. Dans ce cas, exp(x) =
> 1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3).
>
> 1/(1+exp(x)) = 1/(2+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3))
> = 1/2 * 1/(1 + x/2 + x^2/4 + x^3/12 + o(x^3))
> = 1/2 (1 - (x/2 + x^2/4 + x^3/12) + o(x^3)
> + (x/2 + x^2/4 + x^3/12 + o(x^3))^2
> - (x/2 + x^2/4 + x^3/12 + o(x^3))^3
> + o(x^3))
> = 1/2 (1 - x/2 - x^2/4 - x^3/12
> + x^2/4 + x^3/4
> - x^3/8
> - o(x^3))
> = 1/2 (1 - x/2 + 7/24 x^3 + o(x^3))
> Et il ne reste plus qu'à multiplier par un DL_3 de exp(x).
> Bon, bien évidemment, à 99 %, mes calculs sont faux. M'enfin,
> l'idée est là...[/color]

Le problème est que tu utilises la composition des DL.
Je n'y ai pas droit.
Seulement f(rx) et f(x^p)
Merci

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