[PT] Convergence de suite

[Anonyme]

Bonjour,
Voilà une question qui me pose beaucoup de soucis (troisième partie du
problème d'algèbre des petites mines de 2004):
On définit trois suites de la façon suivante:
a(n+1)=L*b(n)+(1-L)c(n)
b(n+1)=L*c(n)+(1-L)a(n)
c(n+1)=L*a(n)+(1-L)b(n)
où L est un réel et a(n),b(n),c(n) sont les affixes des points
A(n),B(n),C(n).
Je dois montrer que si 0<L<1 alors les suites a(n),b(n),c(n) convergent.

Si quelqu'un a une idée... je tourne en rond depuis pas mal de temps.

Merci beaucoup,
Cordialement,
Stéphane Saje
--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

Stéphane Saje wrote:

> Bonjour,
> Voilà une question qui me pose beaucoup de soucis (troisième partie du
> problème d'algèbre des petites mines de 2004):
> On définit trois suites de la façon suivante:
> a(n+1)=L*b(n)+(1-L)c(n)
> b(n+1)=L*c(n)+(1-L)a(n)
> c(n+1)=L*a(n)+(1-L)b(n)
> où L est un réel et a(n),b(n),c(n) sont les affixes des points
> A(n),B(n),C(n).
> Je dois montrer que si 0<L<1 alors les suites a(n),b(n),c(n) convergent.

Soit X le vecteur de coordonnées (a,b,c).
On sait que X(n+1)=A.X(n)
où A est une matrice 3x3.

Il me semble que l'étude de A (valeurs propres ? vecteurs propres ?) te
permettra de répondre sans difficulté à la question.

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

"Benoit Rivet" a écrit dans le message de
news: 1gkddk7.mawas5dtluf9N%benoit.rivet@libre.fr.invalid...
> Stéphane Saje wrote:
>[color=green]
> > Bonjour,
> > Voilà une question qui me pose beaucoup de soucis (troisième partie du
> > problème d'algèbre des petites mines de 2004):[/color]
[...]
>
> Il me semble que l'étude de A (valeurs propres ? vecteurs propres ?) te
> permettra de répondre sans difficulté à la question.
>

un sujet des mines de sup... il ne faut pas utiliser les notions de spé.

[Anonyme]

"Stéphane Saje" a écrit dans le message de
news:cik4m8$1f2$1@news-reader5.wanadoo.fr...
> Bonjour,
> Voilà une question qui me pose beaucoup de soucis (troisième partie du
> problème d'algèbre des petites mines de 2004):
> On définit trois suites de la façon suivante:
> a(n+1)=L*b(n)+(1-L)c(n)
> b(n+1)=L*c(n)+(1-L)a(n)
> c(n+1)=L*a(n)+(1-L)b(n)
> où L est un réel et a(n),b(n),c(n) sont les affixes des points
> A(n),B(n),C(n).
> Je dois montrer que si 0
> Si quelqu'un a une idée... je tourne en rond depuis pas mal de temps.
>
> Merci beaucoup,
> Cordialement,
> Stéphane Saje
> --
> Stéphane Saje
> http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

Peut-être qu'une approche géométrique serait intéressante, surtout dans la
mesure où il s'agit d'affixes de points.
Si on regarde de près la façon de passer de chaque triplet au suivant, en
faisant un dessin pour quelques triangles, on peut mettre en évidence une
transformation ( composée d'une symétrie, d'une rotation et ... d'une
homothétie ).
Par exemple, dans le cas où L=1/2, on se retrouve avec une configuration
typique de droites des milieux.
On peut aussi utiliser le fait que l'isobarycentre d'un triplet (
A(n+1),B(n+1),C(n+1) ) est le même que celui du triplet ( A(n),B(n),C(n) )
et que, intuitivement, si ces trois suites convergent, elles convergent
toutes vers cet isobarycentre.
On doit même pouvoir mettre en évidence une convergence géométrique.

Alors bon, j'ai pas pris le temps de faire les calculs, donc je suis bien
incapable de certifier que ça marche tout seul, mais ça me parait une piste
prometteuse.

--
Psyko Niko

[Anonyme]

On Sun, 19 Sep 2004 16:22:05 +0200, =?ISO-8859-1?Q?St=E9phane_Saje?=
wrote:

>Bonjour,
>Voilà une question qui me pose beaucoup de soucis (troisième partie du
>problème d'algèbre des petites mines de 2004):
>On définit trois suites de la façon suivante:
>a(n+1)=L*b(n)+(1-L)c(n)
>b(n+1)=L*c(n)+(1-L)a(n)
>c(n+1)=L*a(n)+(1-L)b(n)
>où L est un réel et a(n),b(n),c(n) sont les affixes des points
>A(n),B(n),C(n).
>Je dois montrer que si 0
>Si quelqu'un a une idée... je tourne en rond depuis pas mal de temps.
>
>Merci beaucoup,
si on ajoute tout membre à membre on trouve
que s(n)=a(n)+b(n)+c(n) est constant : s
donc en fait il n'y a plus que 2 suites par ex a(n) et b(n)
qui dépendent de L et s

est-ce que ce sera utile : ?
en tout cas ca peut permettre par exemple d'écrire une relation
récurrente d'ordre 2 pour a(n) (avec second membre) les coeff
dépendant de L et s
mais bon j'ai pas fait le calcul pour voir l'allure de l'équation
caractéristique (de degré 2)

la question est posée brutalement ainsi : aucun lien avec ce qui
précéde éventuellement?

[Anonyme]

> Peut-être qu'une approche géométrique serait

Ce qui est clair c'est que l'aire délimitée par les triangles successifs est
décroissante minorée donc convergente; de là à dire que les affixes
convergent ... j'ai vaguement réfléchi mais pas réussi.

[Anonyme]

Benoit Rivet a écrit :
> Stéphane Saje wrote:
>
>[color=green]
>>Bonjour,
>>Voilà une question qui me pose beaucoup de soucis (troisième partie du
>>problème d'algèbre des petites mines de 2004):
>>On définit trois suites de la façon suivante:
>>a(n+1)=L*b(n)+(1-L)c(n)
>>b(n+1)=L*c(n)+(1-L)a(n)
>>c(n+1)=L*a(n)+(1-L)b(n)
>>où L est un réel et a(n),b(n),c(n) sont les affixes des points
>>A(n),B(n),C(n).
>>Je dois montrer que si 0
>
> Soit X le vecteur de coordonnées (a,b,c).
> On sait que X(n+1)=A.X(n)
> où A est une matrice 3x3.
>
> Il me semble que l'étude de A (valeurs propres ? vecteurs propres ?) te
> permettra de répondre sans difficulté à la question.
>
Cela reste encore du chinois pour moi tous ces termes.
En revanche voilà ce à quoi j'ai pensé (en reprenant ton idée d'écriture
en matrices):
X(n+1)=A.X(n), par une récurrence évidente on a: X(n)=A^n*X(0). Le tout
serait de déterminer A^n et c'est gagné (du moins je l'espère).
Vu l'expression de A, un calcul direct ne donnerait rien.
En revanche je sais que D=P*A*P^-1 où P est une matrice de passage et
bingo D est une matrice diagonale!!!
Ainsi le calcul de A^n revient au calcul de P^-1*D^n*P.
Le hic c'est que P:=matrix([[1,1,1],[1,j,j**2],[1,j**2,j]] où j est le
nb complexe tel que j=exp(2iPi/3) et
Dn:=matrix([[1,0,0],[0,(L*j+(1-L)*j**2)^n,0],[0,0,(L*j**2+(1-L)*j)^n]]);
L'expression de A^n est alors infame (à moins que je me sois planté dans
le calcul avec Maple).

Alors voilà où je suis bloqué maintenant...

Y-a-t-il une erreure dans mon raisonnement?

Ou peut-être n'est-ce pas la bonne méthode? Si quelqu'un voit autre chose.

--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

On Sun, 19 Sep 2004 15:54:29 GMT,
marc.pichereauantispam@wanadoo.fr.invalid (Marc Pichereau) wrote:

>On Sun, 19 Sep 2004 16:22:05 +0200, =?ISO-8859-1?Q?St=E9phane_Saje?=
> wrote:
>[color=green]
>>Bonjour,
>>Voilà une question qui me pose beaucoup de soucis (troisième partie du
>>problème d'algèbre des petites mines de 2004):
>>On définit trois suites de la façon suivante:
>>a(n+1)=L*b(n)+(1-L)c(n)
>>b(n+1)=L*c(n)+(1-L)a(n)
>>c(n+1)=L*a(n)+(1-L)b(n)
>>où L est un réel et a(n),b(n),c(n) sont les affixes des points
>>A(n),B(n),C(n).
>>Je dois montrer que si 0>
>>Si quelqu'un a une idée... je tourne en rond depuis pas mal de temps.
>>
>>Merci beaucoup,
>si on ajoute tout membre à membre on trouve
>que s(n)=a(n)+b(n)+c(n) est constant : s
>donc en fait il n'y a plus que 2 suites par ex a(n) et b(n)
>qui dépendent de L et s
>
>est-ce que ce sera utile : ?[/color]
en fait on peut poursuivre cette idée
u(n)=a(n)+b(n)+c(n) est donc constante
mais
v(n)=a(n)+jb(n)+j^2(c(n) vérifie v(n+1)=(j(1-L)+j^2L)v(n)
et w(n)=a(n)+j^2b(n)+jc(n)
vérifie w(n+1)=(j^2(1-L)+jL)w(n)


u est évidemment cv soit s sa limite
v et w sont géo et le module de leur raison est <1
si 0<L<1
donc elles cv vers 0
on en déduit que a , b, c cv vers s/3
(on fait les bonnes combi sur u,v,w)
*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

On Sun, 19 Sep 2004 21:17:01 +0200, =?ISO-8859-1?Q?St=E9phane_Saje?=
wrote:

>Benoit Rivet a écrit :[color=green]
>> Stéphane Saje wrote:
>>
>>[color=darkred]
>>>Bonjour,
>>>Voilà une question qui me pose beaucoup de soucis (troisième partie du
>>>problème d'algèbre des petites mines de 2004):
>>>On définit trois suites de la façon suivante:
>>>a(n+1)=L*b(n)+(1-L)c(n)
>>>b(n+1)=L*c(n)+(1-L)a(n)
>>>c(n+1)=L*a(n)+(1-L)b(n)
>>>où L est un réel et a(n),b(n),c(n) sont les affixes des points
>>>A(n),B(n),C(n).
>>>Je dois montrer que si 0>
>>
>> Soit X le vecteur de coordonnées (a,b,c).
>> On sait que X(n+1)=A.X(n)
>> où A est une matrice 3x3.
>>
>> Il me semble que l'étude de A (valeurs propres ? vecteurs propres ?) te
>> permettra de répondre sans difficulté à la question.
>>
>Cela reste encore du chinois pour moi tous ces termes.
>En revanche voilà ce à quoi j'ai pensé (en reprenant ton idée d'écriture
>en matrices):
>X(n+1)=A.X(n), par une récurrence évidente on a: X(n)=A^n*X(0). Le tout
>serait de déterminer A^n et c'est gagné (du moins je l'espère).
>Vu l'expression de A, un calcul direct ne donnerait rien.
>En revanche je sais que D=P*A*P^-1 où P est une matrice de passage et
>bingo D est une matrice diagonale!!!
>Ainsi le calcul de A^n revient au calcul de P^-1*D^n*P.
>Le hic c'est que P:=matrix([[1,1,1],[1,j,j**2],[1,j**2,j]] où j est le
>nb complexe tel que j=exp(2iPi/3) et
>Dn:=matrix([[1,0,0],[0,(L*j+(1-L)*j**2)^n,0],[0,0,(L*j**2+(1-L)*j)^n]]);
>L'expression de A^n est alors infame (à moins que je me sois planté dans
>le calcul avec Maple).
>
>Alors voilà où je suis bloqué maintenant...
>
>Y-a-t-il une erreure dans mon raisonnement?[/color]
je ne crois pas : d'ailleurs ta matrice P rappelle beaucoup les coeff
que j'ai utilisés dans mon autre message
en fait il faut passer à la limite or
si 0
>Ou peut-être n'est-ce pas la bonne méthode? Si quelqu'un voit autre chose.
>
>--
>Stéphane Saje
>http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/[/color]

*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

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[Anonyme]

Marc Pichereau a écrit :
> On Sun, 19 Sep 2004 21:17:01 +0200, =?ISO-8859-1?Q?St=E9phane_Saje?=
> wrote:
>
>[color=green]
>>Benoit Rivet a écrit :
>>[color=darkred]
>>>Stéphane Saje wrote:
>>>
>>>
>>>
>>>>Bonjour,
>>>>Voilà une question qui me pose beaucoup de soucis (troisième partie du
>>>>problème d'algèbre des petites mines de 2004):
>>>>On définit trois suites de la façon suivante:
>>>>a(n+1)=L*b(n)+(1-L)c(n)
>>>>b(n+1)=L*c(n)+(1-L)a(n)
>>>>c(n+1)=L*a(n)+(1-L)b(n)
>>>>où L est un réel et a(n),b(n),c(n) sont les affixes des points
>>>>A(n),B(n),C(n).
>>>>Je dois montrer que si 0>>
>>>
>>>Soit X le vecteur de coordonnées (a,b,c).
>>>On sait que X(n+1)=A.X(n)
>>>où A est une matrice 3x3.
>>>
>>>Il me semble que l'étude de A (valeurs propres ? vecteurs propres ?) te
>>>permettra de répondre sans difficulté à la question.
>>>
>>
>>Cela reste encore du chinois pour moi tous ces termes.
>>En revanche voilà ce à quoi j'ai pensé (en reprenant ton idée d'écriture
>>en matrices):
>>X(n+1)=A.X(n), par une récurrence évidente on a: X(n)=A^n*X(0). Le tout
>>serait de déterminer A^n et c'est gagné (du moins je l'espère).
>>Vu l'expression de A, un calcul direct ne donnerait rien.
>>En revanche je sais que D=P*A*P^-1 où P est une matrice de passage et
>>bingo D est une matrice diagonale!!!
>>Ainsi le calcul de A^n revient au calcul de P^-1*D^n*P.
>>Le hic c'est que P:=matrix([[1,1,1],[1,j,j**2],[1,j**2,j]] où j est le
>>nb complexe tel que j=exp(2iPi/3) et
>>Dn:=matrix([[1,0,0],[0,(L*j+(1-L)*j**2)^n,0],[0,0,(L*j**2+(1-L)*j)^n]]);
>>L'expression de A^n est alors infame (à moins que je me sois planté dans
>>le calcul avec Maple).
>>
>>Alors voilà où je suis bloqué maintenant...
>>
>>Y-a-t-il une erreure dans mon raisonnement?[/color]
>
> je ne crois pas : d'ailleurs ta matrice P rappelle beaucoup les coeff
> que j'ai utilisés dans mon autre message
> en fait il faut passer à la limite or
> si 0 tendent vers 0
> (ces 2 termes diagonaux sont les raisons des 2 suites géo de mon autre
> message)
> et donc D tend vers la matrice D'nulle partout suaf le terme (1,1)
> qui vaut 1
> donc X(n) tend vers Li=P^-1*D'*P*X(0)
> donc les 3 suites sont cv
> et tu devrais vérifier que les 3 composantes de Li sont égales
> au 1/3 de la somme de celles de X(0)
>
>>Ou peut-être n'est-ce pas la bonne méthode? Si quelqu'un voit autre chose.
>>
>>--
>>Stéphane Saje
>>http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/
>
>
> *****************
>
> Pichereau Alain
>
> adresse mail antispam
> http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> ( olympiades mathématiques 1ère S )
>
> *****************[/color]
Bien joué! Ca marche superbement bien.
Merci à vous tous.
Cordialement,

--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

Benoit Rivet a écrit :
> Stéphane Saje wrote:
>
>[color=green]
>>Bonjour,
>>Voilà une question qui me pose beaucoup de soucis (troisième partie du
>>problème d'algèbre des petites mines de 2004):
>>On définit trois suites de la façon suivante:
>>a(n+1)=L*b(n)+(1-L)c(n)
>>b(n+1)=L*c(n)+(1-L)a(n)
>>c(n+1)=L*a(n)+(1-L)b(n)
>>où L est un réel et a(n),b(n),c(n) sont les affixes des points
>>A(n),B(n),C(n).
>>Je dois montrer que si 0
>
> Soit X le vecteur de coordonnées (a,b,c).
> On sait que X(n+1)=A.X(n)
> où A est une matrice 3x3.
>
> Il me semble que l'étude de A (valeurs propres ? vecteurs propres ?) te
> permettra de répondre sans difficulté à la question.
>
Maintenant que mon problème est réglé, une autre question me vient.
Si je résume: dans cette question j'ai eu besoin de calculer M^n où M
est une matrice carrée d'ordre 3.
Pour cela, on a réussit à trouver (c'était donné dans le problème) une
autre matrice D (à l'aide d'une matrice de passage) diagonale. Ainsi il
est facil de calculer D^n et enfin M^n.

Maintenant je me demande est-ce que si je me donne une matrice M au
hasard , je pourrai toujours trouver une autre matrice D diagonale tel
que la passage de l'une à l'autre se fasse par des matrices de passages?
Comment déterminer cette matrice de passage et du fait la matrice D.
Ainsi on pourrait calculer aisément la puissance de n'importe quelle
matrice.

Benoit Rivet parlait de valeur propre etc. Qu'est-ce donc?

Merci beaucoup.

--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

Stéphane Saje wrote:

> Maintenant je me demande est-ce que si je me donne une matrice M au
> hasard , je pourrai toujours trouver une autre matrice D diagonale tel
> que la passage de l'une à l'autre se fasse par des matrices de passages?

Très bonne question . La réponse est non. Par exemple, ce n'est pas
possible pour la matrice :

[0 1]
[0 0]

En effet, elle est de trace et de déterminant nuls, et la trace et le
déterminant sont préservés par une opération de la forme M->PMP^{-1}. Or
la seule matrice 2x2 diagonale de trace et déterminants nuls est la
matrice nulle.

De manière générale, une matrice M qui a la propriété qui vous intéresse
est dite diagonalisable. Déterminer si une matrice est diagonalisable,
et si oui, calculer une matrice diagonale semblable sont des objectifs
parmi d'autres de la réduction des endomorphismes, qui est étudiée en
spé.

> Comment déterminer cette matrice de passage et du fait la matrice D.
> Ainsi on pourrait calculer aisément la puissance de n'importe quelle
> matrice.

Même pour une matrice qui n'est pas diagonalisable, on sait construire
des matrices équivalentes dont les puissances sont relativement faciles
à calculer (par exemple, par le procédé que l'on appelle réduction de
Jordan).

> Benoit Rivet parlait de valeur propre etc. Qu'est-ce donc?

Une valeur propre de M, c'est un scalaire k tel que, pour un certain
vecteur x non nul (qui est appelé vecteur propre), Mx = kx. De façon
évidente, si M est semblable à une matrice diagonale D =
diag(k_1,...,k_n), les k_j sont des valeurs propres -- mieux, ce sont
exactement toutes les valeurs propres (pas très dur non plus). Donc
trouver les valeurs propres est une étape importante dans la réduction.
En fait, si on a de la chance, c'est presque suffisant : une matrice de
taille qui a n valeurs propres distinctes est diagonalisable (suffit de
considérer la base formée par les n vecteurs propres associés).

--
And now 'twas like all instruments,
Now like a lonely flute;
And now it is an angel's song,
That makes the Heavens be mute. STC, Rime, 363 sqq.