Convergence de suite

[Anonyme]

Bonjour,
il s'agit de démontrer la convergence et de trouver la limite d'une
suite (u_n) de réels de l'intervelle [0;1] possédant la propriété
suivante : pour tout entier n>0
u_(n+1) * (1 - u_n) >= 1/4

Je me casse les dents sur ce petit exo trouvé dans un poly de DEUG A1,
et j'accueillerai avec reconnaissance le moindre coup de pouce!
Merci

[Anonyme]

> Bonjour,
> il s'agit de démontrer la convergence et de trouver la limite d'une
> suite (u_n) de réels de l'intervelle [0;1] possédant la propriété
> suivante : pour tout entier n>0
> u_(n+1) * (1 - u_n) >= 1/4

u_(n+1)-u_n >=
1/(4-4u_n)-u_n>=
(1-2u_n)^2/(4-4u_n)>=
0.
(u_n) est croissante majorée donc convergente.
Sa limite p =1/2. (car la suite a_n = u_(n+1)*(1-u_n)-1/4 est à termes
positifs et convergente donc sa limite est positive).

--
Julien Santini

[Anonyme]

Merci pour cette réponse rapide et limpide mais qui ne me rassure pas du
tout : j'avais peur d'être rouillé, c'est maintenant une certitude.

Julien Santini a écrit:[color=green]
>>Bonjour,
>>il s'agit de démontrer la convergence et de trouver la limite d'une
>>suite (u_n) de réels de l'intervelle [0;1] possédant la propriété
>>suivante : pour tout entier n>0
>>u_(n+1) * (1 - u_n) >= 1/4
>
>
> u_(n+1)-u_n >=
> 1/(4-4u_n)-u_n>=
> (1-2u_n)^2/(4-4u_n)>=
> 0.
> (u_n) est croissante majorée donc convergente.
> Sa limite p =1/2. (car la suite a_n = u_(n+1)*(1-u_n)-1/4 est à termes
> positifs et convergente donc sa limite est positive).
>
> --
> Julien Santini
>
>[/color]