Continuité par morceaux

[Anonyme]

La fonction f définie par :
sur R*, f(x) = 1/x
f(0) = 0
est-elle continue par morceaux sur R+* ?
merci

[Anonyme]

On 2004-12-02, wwbj3 wrote:
> La fonction f définie par :
> sur R*, f(x) = 1/x
> f(0) = 0
> est-elle continue par morceaux sur R+* ?

Oui.

> merci

De rien.

[Anonyme]

> La fonction f définie par :
> sur R*, f(x) = 1/x
> f(0) = 0
> est-elle continue par morceaux sur R+* ?

Sur R+*: oui, car elle est continue.
Sur R+: non.

--
µ

Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé

[Anonyme]

On 2004-12-02, µ wrote:[color=green]
>> La fonction f définie par :
>> sur R*, f(x) = 1/x
>> f(0) = 0
>> est-elle continue par morceaux sur R+* ?
>
> Sur R+*: oui, car elle est continue.
> Sur R+: non.[/color]

? Pour moi, continu par morceaux, ça veut dire qu'il existe un nombre
fini d'intervalles deux-à-deux disjoints, dont l'union des adhérences
recouvre l'ensemble de définition, et sur lesquels la fonction est
continue. Sur les points limites, elle peut faire ce qu'elle veut.

--
Frédéric

[Anonyme]

Frederic , dans le message (fr.education.entraide.maths:59941), a écrit
:
> ? Pour moi, continu par morceaux, ça veut dire qu'il existe un nombre
> fini d'intervalles deux-à-deux disjoints, dont l'union des adhérences
> recouvre l'ensemble de définition, et sur lesquels la fonction est
> continue. Sur les points limites, elle peut faire ce qu'elle veut.

Non, en tout cas pas dans la définition standard qu'on trouve dans
n'importe quel bouquin de 1er cycle: on demande que la fonction ait des
limites à gauche et à droite en tout point de discontinuité.

[Anonyme]

> > ? Pour moi, continu par morceaux, ça veut dire qu'il existe un nombre[color=green]
> > fini d'intervalles deux-à-deux disjoints, dont l'union des adhérences
> > recouvre l'ensemble de définition, et sur lesquels la fonction est
> > continue. Sur les points limites, elle peut faire ce qu'elle veut.
>
> Non, en tout cas pas dans la définition standard qu'on trouve dans
> n'importe quel bouquin de 1er cycle: on demande que la fonction ait des
> limites à gauche et à droite en tout point de discontinuité.[/color]

En effet, car c'est la manière la plus simple pour faire l'intégrale de
Riemann si on ne veut pas recourir aux fonctions réglées.

--
µ

Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé

[Anonyme]

On 2004-12-02, Yves De Cornulier wrote:
> Frederic , dans le message (fr.education.entraide.maths:59941), a écrit
>:[color=green]
>> ? Pour moi, continu par morceaux, ça veut dire qu'il existe un nombre
>> fini d'intervalles deux-à-deux disjoints, dont l'union des adhérences
>> recouvre l'ensemble de définition, et sur lesquels la fonction est
>> continue. Sur les points limites, elle peut faire ce qu'elle veut.
>
> Non, en tout cas pas dans la définition standard qu'on trouve dans
> n'importe quel bouquin de 1er cycle: on demande que la fonction ait des
> limites à gauche et à droite en tout point de discontinuité.[/color]

Oups, j'étais persuadé que l'on n'imposait pas cette histoire de limites
aux bornes, mais maintenant que tu le dis, effectivement, ça me paraît
raisonnable. Je dois confondre avec les fonctions réglées.

[Anonyme]

> Oups, j'étais persuadé que l'on n'imposait pas cette histoire de limites
> aux bornes, mais maintenant que tu le dis, effectivement, ça me paraît
> raisonnable. Je dois confondre avec les fonctions réglées.

Bah non, car une fonction réglée possède une limite finie à droite et à
gauche en tout point (ce qui est même une caractérisation), donc celle
donnée en tête de ce fil n'en est pas une.

--
µ

Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé

[Anonyme]

> Sur R+*: oui, car elle est continue.

mais alors elle devrait admettre une limite finie à droite de zéro ce qui
n'est pas le cas, non ??
j'ai comme définition : f continue par morceaux sur ]a;b[ ssi f prolongeable
par continuité sur [a;b]

[Anonyme]

wwbj3 a écrit :
[color=green]
>>Sur R+*: oui, car elle est continue.
>
>
> mais alors elle devrait admettre une limite finie à droite de zéro ce qui
> n'est pas le cas, non ??
> j'ai comme définition : f continue par morceaux sur ]a;b[ ssi f prolongeable
> par continuité sur [a;b][/color]

D'après :
http://www.les-mathematiques.net/a/a/l/node4.php3
Une fonction ne peut être continue par morceaux que sur un intervalle
fermé, ce qui exclut donc R+*.
Maintenant les définitions ça va ça vient ...

RM.

[Anonyme]

On 2004-12-02, µ wrote:[color=green]
>> Oups, j'étais persuadé que l'on n'imposait pas cette histoire de limites
>> aux bornes, mais maintenant que tu le dis, effectivement, ça me paraît
>> raisonnable. Je dois confondre avec les fonctions réglées.
>
> Bah non, car une fonction réglée possède une limite finie à droite et à
> gauche en tout point (ce qui est même une caractérisation), donc celle
> donnée en tête de ce fil n'en est pas une.[/color]

J'ai dit que je *confondais*, signifiant que la chose n'était plus très
claire dans ma tête. Ce n'est pas la peine d'essayer de deviner quelle
était ma confusion, ni de s'étendre dessus, hein.

[Anonyme]

> D'après :
> http://www.les-mathematiques.net/a/a/l/node4.php3
> Une fonction ne peut être continue par morceaux que sur un intervalle
> fermé, ce qui exclut donc R+*.
> Maintenant les définitions ça va ça vient ...

En effet... Mais ça peut-être sympa de le faire sur un intervalle
quelconque, pour pouvoir intégrer une fonction comme 1/x justement.

--
µ

Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé

[Anonyme]

> > Bah non, car une fonction réglée possède une limite finie à droite et à[color=green]
> > gauche en tout point (ce qui est même une caractérisation), donc celle
> > donnée en tête de ce fil n'en est pas une.
>
> J'ai dit que je *confondais*, signifiant que la chose n'était plus très
> claire dans ma tête. Ce n'est pas la peine d'essayer de deviner quelle
> était ma confusion, ni de s'étendre dessus, hein.[/color]

Il ne faut pas le rpendre mal... Je n'essaie pas de deviner quelle était ta
confusion, je te disais juste pourquoi ça ne marchait pas.

--
µ

Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé

[Anonyme]

µ a écrit:[color=green]
>>La fonction f définie par :
>>sur R*, f(x) = 1/x
>>f(0) = 0
>>est-elle continue par morceaux sur R+* ?
>
>
> Sur R+*: oui, car elle est continue.
> Sur R+: non.[/color]
Pourquoi ?

[Anonyme]

> >>La fonction f définie par :[color=green][color=darkred]
> >>sur R*, f(x) = 1/x
> >>f(0) = 0
> >>est-elle continue par morceaux sur R+* ?
> >
> >
> > Sur R+*: oui, car elle est continue.
> > Sur R+: non.[/color]
> Pourquoi ?[/color]

En général, on dit qu'une fonction f est continue par morceaux sur un
intervalle quelconque si sa restriction à tout segment est continue par
morceaux, ce qui permet d'étendre facilement la théorie de l'intégrale des
fonctions continues par morceaux sur un segment à un intervalle quelconque;
c'est ce qu'on fait en prépa, c'est peut-être le plus simple pour une
première approche de l'intégrale.
En particulier, une fonction continue par morceaux sur un intervalle
quelconque est bornée au voisinage de tout point, ce qui n'est pas le cas
ici au voisinage de 0.

--
µ

Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé

[Anonyme]

µ a écrit:[color=green][color=darkred]
>>>>La fonction f définie par :
>>>>sur R*, f(x) = 1/x
>>>>f(0) = 0
>>>>est-elle continue par morceaux sur R+* ?
>>>
>>>
>>>Sur R+*: oui, car elle est continue.
>>>Sur R+: non.
>>
>>Pourquoi ?[/color]
>
>
> En général, on dit qu'une fonction f est continue par morceaux sur un
> intervalle quelconque si sa restriction à tout segment est continue par
> morceaux, ce qui permet d'étendre facilement la théorie de l'intégrale des
> fonctions continues par morceaux sur un segment à un intervalle quelconque;
> c'est ce qu'on fait en prépa, c'est peut-être le plus simple pour une
> première approche de l'intégrale.
> En particulier, une fonction continue par morceaux sur un intervalle
> quelconque est bornée au voisinage de tout point, ce qui n'est pas le cas
> ici au voisinage de 0.
>[/color]
Bon mais alors comme elle n'est pas bornée sur R+*, elle n'y est pas
continue par morceaux non plus ?

[Anonyme]

> > En général, on dit qu'une fonction f est continue par morceaux sur un[color=green]
> > intervalle quelconque si sa restriction à tout segment est continue par
> > morceaux, ce qui permet d'étendre facilement la théorie de l'intégrale[/color]
des[color=green]
> > fonctions continues par morceaux sur un segment à un intervalle[/color]
quelconque;[color=green]
> > c'est ce qu'on fait en prépa, c'est peut-être le plus simple pour une
> > première approche de l'intégrale.
> > En particulier, une fonction continue par morceaux sur un intervalle
> > quelconque est bornée au voisinage de tout point, ce qui n'est pas le[/color]
cas[color=green]
> > ici au voisinage de 0.
> >
> Bon mais alors comme elle n'est pas bornée sur R+*, elle n'y est pas
> continue par morceaux non plus ?[/color]

Avec ma définition, une fonction est bornée *au voisinage de tout point*,
pas forcément globalement.

--
µ

Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé