Continuité d'une fonction définie par une intégrale

[Anonyme]

Bonjour,

Je ne sais pas comment démonter que la fonction f suivante est continue et
dérivable su R*... pouvez-vous m'aider?
f[n]:a --> int(0;1 dt/(t^2+a^2)^n) avec n dans N.


On me demande ensuite de calculer f[n]'(a), mais je ne sais pas comment
faire.

Merci d'avance

Harry

[Anonyme]

On 05 Jun 2004 13:06:51 GMT, Harry wrote:
>
>Bonjour,
>
>Je ne sais pas comment démonter que la fonction f suivante est continue et
>dérivable su R*... pouvez-vous m'aider?
>f[n]:a --> int(0;1 dt/(t^2+a^2)^n) avec n dans N.
>
>
>On me demande ensuite de calculer f[n]'(a), mais je ne sais pas comment
>faire.

Alors, pour ce genre d'exercices, on fait d'abord « à la physicienne ».
On commence donc par dire que l'on peut faire permuter dérivée et
intégrale ; puis on calcule.

Ici : df[n](x)/da = d/da(int dt/(t^2+a^2)^-n, t=0..1)
= int ( dt * d/da (t^2+a^2)^-n, t=0..1)
= int ( dt * -2an(t^2 + a^2)^(-n-1), t=0..1)
= -2an f[n+1](a)
(si je ne me suis pas planté dans les calculs).

Ensuite, reste à justifier le calcul : tu écris la définition
de la dérivée (comme taux d'accroissement), puis tu montre que
le taux d'accroissement tend bien vers cette limite (ça va
te faire une intégrale à majorer).

Sinon, il y a les théorèmes de dérivation sous le signe intégrale
qui trivialisent la question, mais si tu ne les connais pas, mieux
vaut faire les calculs, ça n'est jamais perdu et ça sert souvent.

--
Frédéric

[Anonyme]

Harry a écrit :
> Bonjour,
>
> Je ne sais pas comment démonter que la fonction f suivante est continue et
> dérivable su R*... pouvez-vous m'aider?
> f[n]:a --> int(0;1 dt/(t^2+a^2)^n) avec n dans N.
>
>
> On me demande ensuite de calculer f[n]'(a), mais je ne sais pas comment
> faire.
>
> Merci d'avance
>
> Harry

g:t -> 1/(a²+t²)^n est continue donc admet des primitives.
Soit G une primitive de g ie G'=g.
Donc int(0..1 g(t)dt)))=G(1)-G(0)=f_n(a)

Donc (f_n)'(a)=G'(1)-G'(0)=g(1)-g(0)=1/(a²+1)^n - 1/(a²)^n

[Anonyme]

On Sat, 05 Jun 2004 16:46:31 +0200, Chasay wrote:
>Harry a écrit :[color=green]
>> Bonjour,
>>
>> Je ne sais pas comment démonter que la fonction f suivante est continue et
>> dérivable su R*... pouvez-vous m'aider?
>> f[n]:a --> int(0;1 dt/(t^2+a^2)^n) avec n dans N.
>>
>>
>> On me demande ensuite de calculer f[n]'(a), mais je ne sais pas comment
>> faire.
>>
>> Merci d'avance
>>
>> Harry
>
>g:t -> 1/(a²+t²)^n est continue donc admet des primitives.
>Soit G une primitive de g ie G'=g.
>Donc int(0..1 g(t)dt)))=G(1)-G(0)=f_n(a)
>
>Donc (f_n)'(a)=G'(1)-G'(0)=g(1)-g(0)=1/(a²+1)^n - 1/(a²)^n[/color]

Euh, ce serait bien si c'était aussi simple... G'(1)-G'(0),
si tu lis ta ligne en venant de la gauche, tu dérives selon
a, si tu lis en venant de la droite, tu dérives selon t.
Bof bof...

Cela dit, c'est mignon. Tout le problème vient des notations :
pour les fonctions de plusieurs variables, mieux vaut utiliser
la notation G'_a() et G'_t(). (Ou dG/da, dG/dt).

Je réecris donc ce que tu dis :
g:t - > 1/(a^2+t^2)^n .... soit G une primitive, ie. G't=g
Donc int(0..1 g(t)dt) = G(1)-G(0) = f_n(a)
Donc f_n'a(a) = G'a(1) - G'a(0) = ??? marche plus...

Cf ma réponse à la question.

--
Frédéric, que certaines démonstrations fausses sont plus belles que les
vraies solutions.