Carrés autour d'un triangle

[Anonyme]

Salut à tous,
C'est un exercice avec une configuration de type pythagore. Plus
précisément, on a un triangle quelconque ABC. Sur chacun des côtés de ce
triangle, on construit extérieurement à ce triangle des carrés de centres O1
(pour le carré de côté BC), O2 pour AC et O3 pour AB.
La question est : CO3 est-il perpendiculaire à O1O2?
La réponse est oui (voir par exemple cabri géomètre).
Non seulement ils sont perpendiculaires, mais ils semblent avoir la même
longueur, même dans le cas où le triangle ABC de départ n'est pas rectangle.
1) Pourquoi?
J'ai deux pistes très minces. Une rotation d'angle pi/2 transformant l'un en
l'autre mais je ne vois pas trop...
Ou faire intervenir le triangle O1O2O3, dont CO3 serait la hauteur issue de
O3...
Mais je ne vois pas comment demêler tout cela!
2) Y-a-t-il une réponse faisant intervenir l'une ou l'autre de ces pistes
(disons une réponse niveau collège type hauteur dans un triangle) et une
autre niveau lycée type transformations.
Merci de vos lumières.
Cordialement ,
Christian Vassard

[Anonyme]

Bonjour,

Christian Vassard a écrit:
> Salut à tous,
> C'est un exercice avec une configuration de type pythagore. Plus
> précisément, on a un triangle quelconque ABC. Sur chacun des côtés de ce
> triangle, on construit extérieurement à ce triangle des carrés de centres O1
> (pour le carré de côté BC), O2 pour AC et O3 pour AB.
> La question est : CO3 est-il perpendiculaire à O1O2?
> La réponse est oui (voir par exemple cabri géomètre).
> Non seulement ils sont perpendiculaires, mais ils semblent avoir la même
> longueur, même dans le cas où le triangle ABC de départ n'est pas rectangle.
> 1) Pourquoi?
> J'ai deux pistes très minces. Une rotation d'angle pi/2 transformant l'un en
> l'autre mais je ne vois pas trop...
> Ou faire intervenir le triangle O1O2O3, dont CO3 serait la hauteur issue de
> O3...
> Mais je ne vois pas comment demêler tout cela!
> 2) Y-a-t-il une réponse faisant intervenir l'une ou l'autre de ces pistes
> (disons une réponse niveau collège type hauteur dans un triangle) et une
> autre niveau lycée type transformations.
> Merci de vos lumières.
> Cordialement ,
> Christian Vassard
>

Démonstration simple, je ne vois pas...
Dans le plan complexe c'est aisé :
O1 = c/2 + b/2 + i*(c/2 - b/2)
et de même O2 = a/2 + c/2 + i*(a/2 - c/2)
et O3 = b/2 + a/2 + i*(b/2 - a/2)

Montrer que O2 - O1 = i*(O3 - c) est une formalité...

Essayer de traduire cette démonstration avec des produits scalaires de
vecteurs quivonbien, utiliser MC.MO1=MB.MO1=0 avec M milieu de BC etc ?

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

On 2004-05-03, Christian Vassard wrote:
> Salut à tous,

Salut!

> C'est un exercice avec une configuration de type pythagore. Plus
> précisément, on a un triangle quelconque ABC. Sur chacun des côtés de ce
> triangle, on construit extérieurement à ce triangle des carrés de centres O1
> (pour le carré de côté BC), O2 pour AC et O3 pour AB.
> La question est : CO3 est-il perpendiculaire à O1O2?

Supposons ABC direct.
Soit I le milieu de [BC].
Si on arrive à montrer que la rotation de centre I et d'angle pi/2
transforme 01 en C et 02 en 03 alors on aura montré que (0102)
perpendiculaire à (CO3) et que 0102=C03.

- 01 -> C
C'est clair.

- 02 -> 03
La rotation de centre A et d'angle -pi/2 transforme B en B' et C' en C.
Donc (BC') perpendiculaire à (B'C).
(O2I) // (BC') (droite des milieux dans BC'C)
(03I) // (B'C) (droite des milieux dans CB'B)
Donc (02I) perpendiculaire à (03I)
De plus BC'=B'C (une rotation conserve les longueurs);
donc 02I=03I (théorème droite des milieux).
Et on a gagné. (si je me suis pas gouré )

Quelqu'un peut-il résoudre l'autre problème

avant que je devienne fou?

--
E-mail: enlevez pasde, pub et .invalid.

[Anonyme]

Salut
Merci et joli coup...
Cela fonctionne tout à fait!
Pour l'autre exo, je n'ai toujours rien...
Mais cela va venir sans doute!
Christian V




"Vincent Couquiaud" a écrit
dans le message de news:c786b4$tn1$1@news-reader2.wanadoo.fr...
> On 2004-05-03, Christian Vassard wrote:[color=green]
> > Salut à tous,
>
> Salut!
>
> > C'est un exercice avec une configuration de type pythagore. Plus
> > précisément, on a un triangle quelconque ABC. Sur chacun des côtés de ce
> > triangle, on construit extérieurement à ce triangle des carrés de[/color]
centres O1[color=green]
> > (pour le carré de côté BC), O2 pour AC et O3 pour AB.
> > La question est : CO3 est-il perpendiculaire à O1O2?
>
> Supposons ABC direct.
> Soit I le milieu de [BC].
> Si on arrive à montrer que la rotation de centre I et d'angle pi/2
> transforme 01 en C et 02 en 03 alors on aura montré que (0102)
> perpendiculaire à (CO3) et que 0102=C03.
>
> - 01 -> C
> C'est clair.
>
> - 02 -> 03
> La rotation de centre A et d'angle -pi/2 transforme B en B' et C' en C.
> Donc (BC') perpendiculaire à (B'C).
> (O2I) // (BC') (droite des milieux dans BC'C)
> (03I) // (B'C) (droite des milieux dans CB'B)
> Donc (02I) perpendiculaire à (03I)
> De plus BC'=B'C (une rotation conserve les longueurs);
> donc 02I=03I (théorème droite des milieux).
> Et on a gagné. (si je me suis pas gouré )
>
> Quelqu'un peut-il résoudre l'autre problème
>
> avant que je devienne fou?
>
> --
> E-mail: enlevez pasde, pub et .invalid.[/color]

[Anonyme]

Christian Vassard a écrit :

> Salut à tous,
> C'est un exercice avec une configuration de type pythagore. Plus
> précisément, on a un triangle quelconque ABC. Sur chacun des côtés de ce
> triangle, on construit extérieurement à ce triangle des carrés de centres O1
> (pour le carré de côté BC), O2 pour AC et O3 pour AB.
> La question est : CO3 est-il perpendiculaire à O1O2?
> La réponse est oui (voir par exemple cabri géomètre).
> Non seulement ils sont perpendiculaires, mais ils semblent avoir la même
> longueur, même dans le cas où le triangle ABC de départ n'est pas rectangle.
> 1) Pourquoi?
> J'ai deux pistes très minces. Une rotation d'angle pi/2 transformant l'un en
> l'autre mais je ne vois pas trop...
> Ou faire intervenir le triangle O1O2O3, dont CO3 serait la hauteur issue de
> O3...
> Mais je ne vois pas comment demêler tout cela!
> 2) Y-a-t-il une réponse faisant intervenir l'une ou l'autre de ces pistes
> (disons une réponse niveau collège type hauteur dans un triangle) et une
> autre niveau lycée type transformations.


En utilisant des nombres complexes, c'est quatre lignes (orthogonalité
et longueurs égales).


Pascal

[Anonyme]

"pascal" a écrit dans le message de
news:c7acsh$973$1@news-reader5.wanadoo.fr...

>
> En utilisant des nombres complexes, c'est quatre lignes (orthogonalité
> et longueurs égales).
>
>
> Pascal

Oui mais on pose alors le problème de la beauté d'une démonstration. Sujet
épineux s'il en est!!!
Christian V