La droite des moindres carrés

[Anonyme]

x1=5 x2=8 x3=17
y1=3 y2=5 y3=13

On desire realiser une interpolation affine de ce tableau de valeurs.
La qualité de l'approximation sera validée par le critère suivant: soient
Mi(xi;yi) et Pi(xi; axi+b)
alors M1P1²+M2p2²+M3P3² doit etre minimale.

On note (d) la droite d equation y=ax+b; les points Pi appartiennent à (d)
On note S(a;b)= M1P1²+M2P2²+M3P3²

1) bon il faut calculer les myennes de x1,x2,x3 et y1,y2,y3 , je trouve 10
et 7

2)On considere la fonction phi: t-->phi(t)= Sa(a,t) (a est fixe) defiie pour
tout reel t.
a) donner l expression de phi(t) en fonction de a et de t.


> alors la j ai pas trop saisi, j'ai fait ça: Sa(a,t)= (5;3)(5;5a+t)² +
(85)(8;8a+t)² + (17;13)(17;17a+t)².

Je suppose que c'es faux et je souhaiterai des explications.

b)Montrer que si Sa(a,b) est minimal alors phi ' (b)=0
c) En deduire que dans ce cas le point G apparient à (d)

[Anonyme]

On Fri, 21 Jan 2005 17:51:57 +0100, "Benjamin CRESPO"
wrote:

>x1=5 x2=8 x3=17
>y1=3 y2=5 y3=13
>
>On desire realiser une interpolation affine de ce tableau de valeurs.
>La qualité de l'approximation sera validée par le critère suivant: soient
>Mi(xi;yi) et Pi(xi; axi+b)
>alors M1P1²+M2p2²+M3P3² doit etre minimale.
>
>On note (d) la droite d equation y=ax+b; les points Pi appartiennent à (d)
>On note S(a;b)= M1P1²+M2P2²+M3P3²
>
>1) bon il faut calculer les myennes de x1,x2,x3 et y1,y2,y3 , je trouve 10
>et 7
>
>2)On considere la fonction phi: t-->phi(t)= Sa(a,t) (a est fixe) defiie pour
>tout reel t.
>a) donner l expression de phi(t) en fonction de a et de t.
>
>[color=green]
>> alors la j ai pas trop saisi, j'ai fait ça: Sa(a,t)= (5;3)(5;5a+t)² +
>(85)(8;8a+t)² + (17;13)(17;17a+t)².
>
>Je suppose que c'es faux et je souhaiterai des explications.[/color]
il faut que tu appliques 3 fois la formule AB^2=(XB-XA)^2+(YB-YA)^2
M1(5,3) P1(5,a*5+t) donc M1P1^2=(5-5)^2+(5*a+t-3)^2 que je te laisse
développer idem pour les 2 autres
et tu vas obtenir une expression de la forme
u*t^2+v*t+w
u,v,w étant des constantes (dépendant de a)
>b)Montrer que si Sa(a,b) est minimal alors phi ' (b)=0
>c) En deduire que dans ce cas le point G apparient à (d)
>
>

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

a écrit dans le message de
news:41f13c50.13595290@news.wanadoo.fr...
> On Fri, 21 Jan 2005 17:51:57 +0100, "Benjamin CRESPO"
> wrote:
>[color=green]
> >x1=5 x2=8 x3=17
> >y1=3 y2=5 y3=13
> >
> >On desire realiser une interpolation affine de ce tableau de valeurs.
> >La qualité de l'approximation sera validée par le critère suivant:[/color]
soient[color=green]
> >Mi(xi;yi) et Pi(xi; axi+b)
> >alors M1P1²+M2p2²+M3P3² doit etre minimale.
> >
> >On note (d) la droite d equation y=ax+b; les points Pi appartiennent à[/color]
(d)[color=green]
> >On note S(a;b)= M1P1²+M2P2²+M3P3²
> >
> >1) bon il faut calculer les myennes de x1,x2,x3 et y1,y2,y3 , je trouve[/color]
10[color=green]
> >et 7
> >
> >2)On considere la fonction phi: t-->phi(t)= Sa(a,t) (a est fixe) defiie[/color]
pour[color=green]
> >tout reel t.
> >a) donner l expression de phi(t) en fonction de a et de t.
> >
> >[color=darkred]
> >> alors la j ai pas trop saisi, j'ai fait ça: Sa(a,t)= (5;3)(5;5a+t)² +
> >(85)(8;8a+t)² + (17;13)(17;17a+t)².
> >
> >Je suppose que c'es faux et je souhaiterai des explications.[/color]
> il faut que tu appliques 3 fois la formule AB^2=(XB-XA)^2+(YB-YA)^2
> M1(5,3) P1(5,a*5+t) donc M1P1^2=(5-5)^2+(5*a+t-3)^2 que je te laisse
> développer idem pour les 2 autres
> et tu vas obtenir une expression de la forme
> u*t^2+v*t+w
> u,v,w étant des constantes (dépendant de a)
> >b)Montrer que si Sa(a,b) est minimal alors phi ' (b)=0
> >c) En deduire que dans ce cas le point G apparient à (d)
> >
> >
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> ( olympiades mathématiques 1ère S )
> *****************[/color]

J'ai fait ce que tu m'a dit et à la fin j'ai ca:
378a²+60at+3t²-552a-42t+203

??? Je pense pas avoir fait le bon truc!

[Anonyme]

On Sat, 22 Jan 2005 17:51:47 +0100, "Benjamin CRESPO"
wrote:

>
> a écrit dans le message de
>news:41f13c50.13595290@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> On Fri, 21 Jan 2005 17:51:57 +0100, "Benjamin CRESPO"
>> wrote:
>>[color=darkred]
>> >x1=5 x2=8 x3=17
>> >y1=3 y2=5 y3=13
>> >
>> >On desire realiser une interpolation affine de ce tableau de valeurs.
>> >La qualité de l'approximation sera validée par le critère suivant:[/color]
>soient[color=darkred]
>> >Mi(xi;yi) et Pi(xi; axi+b)
>> >alors M1P1²+M2p2²+M3P3² doit etre minimale.
>> >
>> >On note (d) la droite d equation y=ax+b; les points Pi appartiennent à[/color]
>(d)[color=darkred]
>> >On note S(a;b)= M1P1²+M2P2²+M3P3²
>> >
>> >1) bon il faut calculer les myennes de x1,x2,x3 et y1,y2,y3 , je trouve[/color]
>10[color=darkred]
>> >et 7
>> >
>> >2)On considere la fonction phi: t-->phi(t)= Sa(a,t) (a est fixe) defiie[/color]
>pour[color=darkred]
>> >tout reel t.
>> >a) donner l expression de phi(t) en fonction de a et de t.
>> >
>> >
>> >> alors la j ai pas trop saisi, j'ai fait ça: Sa(a,t)= (5;3)(5;5a+t)² +
>> >(85)(8;8a+t)² + (17;13)(17;17a+t)².
>> >
>> >Je suppose que c'es faux et je souhaiterai des explications.
>> il faut que tu appliques 3 fois la formule AB^2=(XB-XA)^2+(YB-YA)^2
>> M1(5,3) P1(5,a*5+t) donc M1P1^2=(5-5)^2+(5*a+t-3)^2 que je te laisse
>> développer idem pour les 2 autres
>> et tu vas obtenir une expression de la forme
>> u*t^2+v*t+w
>> u,v,w étant des constantes (dépendant de a)
>> >b)Montrer que si Sa(a,b) est minimal alors phi ' (b)=0
>> >c) En deduire que dans ce cas le point G apparient à (d)[/color][/color]

>J'ai fait ce que tu m'a dit et à la fin j'ai ca:
>378a²+60at+3t²-552a-42t+203
>
>??? Je pense pas avoir fait le bon truc!
>
et pourquoi ? parceque le résultat n'est pas simple?
c'est un peu normal qu'il ne soit pas simple car c'est un polynôme du
2ième degré en t et dont les coeff dépendent de a
je n'ai pas le courage (vu mon âge...)
de faire le calcul mais en tout cas il est vraisemblable
il vaut mieux l'écrire
phi(t)=3t^2+(60a-42)t+378a^2-552a+203

b)donc phi'(t)=6t+60a-42
et phi va être minimum (vérifier avec un tableau de variation)
pour t=-10a+7
c'est la valeur de b pour que S(a,b) soit mini

dans ce cas d a pour équation y=ax-10a+7
c) je te laisse calculer les coordonnées de G et vérifier qu'il est
bien sur cette droite
*****************
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[Anonyme]

[color=green]
> >
> et pourquoi ? parceque le résultat n'est pas simple?
> c'est un peu normal qu'il ne soit pas simple car c'est un polynôme du
> 2ième degré en t et dont les coeff dépendent de a
> je n'ai pas le courage (vu mon âge...)
> de faire le calcul mais en tout cas il est vraisemblable
> il vaut mieux l'écrire
> phi(t)=3t^2+(60a-42)t+378a^2-552a+203
>
> b)donc phi'(t)=6t+60a-42
> et phi va être minimum (vérifier avec un tableau de variation)
> pour t=-10a+7
> c'est la valeur de b pour que S(a,b) soit mini
>
> dans ce cas d a pour équation y=ax-10a+7
> c) je te laisse calculer les coordonnées de G et vérifier qu'il est
> bien sur cette droite
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Bon je vais essayer...
En tout cas je vous remercie beaucoup monsieur!