Somme des carrés

[Anonyme]

je cherche la formule qui donne
la somme des carres de 1 jusqu'à N
a priori ce serait 1/3 de N puissance 3
mais comment le montrer ??

[Anonyme]

pg a écrit:
> je cherche la formule qui donne
> la somme des carres de 1 jusqu'à N
> a priori ce serait 1/3 de N puissance 3
> mais comment le montrer ??
>
>

1^2=1

si somme(1..N)(n^2)= n(n+1)(2n+1)/6 alors
somme(1..N)(n^2)+(n+1)^2= (n+1)*(n*(2n+1)/6+n+1)=(n+1)*((2n^2+7n+6)/6)
et 2n^2+7n+6=((n+1)+1)(2(n+1)+1) CQFD

[Anonyme]

E vi da ment !!!

on peut récurer quand on a la formule de base
mais moi j'avais pas !!!

c donc du raisonnement de gros truand !!! ;+)

comment auriez vous fait si vous n aviez pas la formule ??

merci tt de meme



"Paul Delannoy" a écrit dans le message news:
41652430.2010709@univ-lemans.fr...
> pg a écrit:[color=green]
> > je cherche la formule qui donne
> > la somme des carres de 1 jusqu'à N
> > a priori ce serait 1/3 de N puissance 3
> > mais comment le montrer ??
> >
> >
>
> 1^2=1
>
> si somme(1..N)(n^2)= n(n+1)(2n+1)/6 alors
> somme(1..N)(n^2)+(n+1)^2= (n+1)*(n*(2n+1)/6+n+1)=(n+1)*((2n^2+7n+6)/6)
> et 2n^2+7n+6=((n+1)+1)(2(n+1)+1) CQFD
>[/color]

[Anonyme]

rechercher un polynôme P de degrè 3 tq P(x + 1) - P(x) = x^2
puis sommer pour x variant de 1 à n.
A+
"pg" a écrit dans le message de
news:41656391$0$8692$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> E vi da ment !!!
>
> on peut récurer quand on a la formule de base
> mais moi j'avais pas !!!
>
> c donc du raisonnement de gros truand !!! ;+)
>
> comment auriez vous fait si vous n aviez pas la formule ??
>
> merci tt de meme
>
>
>
> "Paul Delannoy" a écrit dans le message news:
> 41652430.2010709@univ-lemans.fr...[color=green]
> > pg a écrit:[color=darkred]
> > > je cherche la formule qui donne
> > > la somme des carres de 1 jusqu'à N
> > > a priori ce serait 1/3 de N puissance 3
> > > mais comment le montrer ??
> > >
> > >
> >
> > 1^2=1
> >
> > si somme(1..N)(n^2)= n(n+1)(2n+1)/6 alors
> > somme(1..N)(n^2)+(n+1)^2= (n+1)*(n*(2n+1)/6+n+1)=(n+1)*((2n^2+7n+6)/6)
> > et 2n^2+7n+6=((n+1)+1)(2(n+1)+1) CQFD
> >[/color]
>
>[/color]

[Anonyme]

Bonjour

> "pg" a écrit dans le message de
> news:41656391$0$8692$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>[color=green]
>>E vi da ment !!!
>>
>>on peut récurer quand on a la formule de base
>>mais moi j'avais pas !!!
>>
>>c donc du raisonnement de gros truand !!! ;+)
>>
>>comment auriez vous fait si vous n aviez pas la formule ??
>>[/color]

AL a répondu:
> rechercher un polynôme P de degrè 3 tq P(x + 1) - P(x) = x^2

pourquoi un polynome de degré 3 ???

> puis sommer pour x variant de 1 à n.

Une méthode :
lister les sommes, calculer les différences...

n 0 1 2 3 4 5 6 ...
n^2 0 1 4 9 16 25 36 ...
sum 0 1 5 14 30 55 91 ...
1 4 9 16 25 36 ...
3 5 7 9 11 ...
2 2 2 2 ...

les 3èmes différences deviennent constantes
donc les valeurs listées suivent un polynome de degré 3
obtenu par la formule de Newton :
0*C(n,0) + 1*C(n,1) + 3*C(n,2) + 2*C(n,3) =
0 + n + 3*n(n-1)/2 + 2*n(n-1)(n-2)/6 = n(n+1)(2n+1)/6

Ayant trouvé la formule valable pour les valeurs n<7
y'a qu'à la démontrer par récurence, ou démonter que
les 3èmes différences sont = 2 pour tout n.

Bon, on n'est pas obligé non plus de connaître cette formule
de Newton...

L'astuce classique pour calculer la somme des carrés passe ...
par la somme des cubes !
par un jeu sur les indices :
sum(n^3, n=1..N+1) = sum((n+1)^3, n=0..N) =
sum(n^3 + 3n^2 + 3n + 1, n=0..N)

chacun des 4 termes est sommé séparément :
sum(n^3, n=0..N) = 0^3 + sum(n^3, n=1..N)
sum(3*n^2, n=0..N) = 3 * sum(n^2, n=0..N) = ce qu'on cherche
sum(3*n, n=0..N) = 3 * sum(n, n=0..N) = 3 * N(N+1)/2 (connu)
sum(1, n=0..N) = N+1

Comme d'autre part :
sum(n^3, n=1..N+1) = sum(n^3, n=1..N) + (N+1)^3
on obtient, car les "sum(n^3, n=1..N)" s'éliminent :
(N+1)^3 = 0^3 + 3*sum(n^2, n=0..N) + 3N(N+1)/2 + (N+1)

d'où on tire sum(n^2, n=0..N)

On peut avec la même méthode calculer la somme des cubes
en passant par le développement de la somme des puissances 4èmes
etc...

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

pg a écrit:
> E vi da ment !!!
>
> on peut récurer quand on a la formule de base
> mais moi j'avais pas !!!
>
> c donc du raisonnement de gros truand !!! ;+)
>
> comment auriez vous fait si vous n aviez pas la formule ??

C'est vrai que c'est 'sorti d'un chapeau' mais je croyais que tu
cherchais justement cette formule... Pour répondre à ta question,
j'utiliserai des pbs 'géométriques' : on fait des barres de cubes (qui
s'assemblent les uns aux autres : matos péda) de 1,3,5,7,.. cubes. Avec
ces barres assemblées on fait des 'carrés' (de 1, 9, 25, 49 .. cubes
unité, puis on assemble ces carrés en un volume de... combien de cubes ?
Cela amorce la récurrence et permet de soutenir la recherche. Il n'est
pas rare de vois la formule (re)découverte ainsi.
>
> merci tt de meme

de rien

>
>
> "Paul Delannoy" a écrit dans le message news:
> 41652430.2010709@univ-lemans.fr...
>[color=green]
>>pg a écrit:
>>[color=darkred]
>>>je cherche la formule qui donne
>>>la somme des carres de 1 jusqu'à N
>>>a priori ce serait 1/3 de N puissance 3
>>>mais comment le montrer ??
>>>
>>>
>>
>>1^2=1
>>
>>si somme(1..N)(n^2)= n(n+1)(2n+1)/6 alors
>>somme(1..N)(n^2)+(n+1)^2= (n+1)*(n*(2n+1)/6+n+1)=(n+1)*((2n^2+7n+6)/6)
>>et 2n^2+7n+6=((n+1)+1)(2(n+1)+1) CQFD
>>[/color]
>
>
>[/color]

[Anonyme]

Bonne idée cet assemblage mais réalisable ?



"Paul Delannoy" a écrit dans le message news:
41659457.7060506@univ-lemans.fr...
> pg a écrit:[color=green]
> > E vi da ment !!!
> >
> > on peut récurer quand on a la formule de base
> > mais moi j'avais pas !!!
> >
> > c donc du raisonnement de gros truand !!! ;+)
> >
> > comment auriez vous fait si vous n aviez pas la formule ??
>
> C'est vrai que c'est 'sorti d'un chapeau' mais je croyais que tu
> cherchais justement cette formule... Pour répondre à ta question,
> j'utiliserai des pbs 'géométriques' : on fait des barres de cubes (qui
> s'assemblent les uns aux autres : matos péda) de 1,3,5,7,.. cubes. Avec
> ces barres assemblées on fait des 'carrés' (de 1, 9, 25, 49 .. cubes
> unité, puis on assemble ces carrés en un volume de... combien de cubes ?
> Cela amorce la récurrence et permet de soutenir la recherche. Il n'est
> pas rare de vois la formule (re)découverte ainsi.
> >
> > merci tt de meme
>
> de rien
>
> >
> >
> > "Paul Delannoy" a écrit dans le message news:
> > 41652430.2010709@univ-lemans.fr...
> >[color=darkred]
> >>pg a écrit:
> >>
> >>>je cherche la formule qui donne
> >>>la somme des carres de 1 jusqu'à N
> >>>a priori ce serait 1/3 de N puissance 3
> >>>mais comment le montrer ??
> >>>
> >>>
> >>
> >>1^2=1
> >>
> >>si somme(1..N)(n^2)= n(n+1)(2n+1)/6 alors
> >>somme(1..N)(n^2)+(n+1)^2= (n+1)*(n*(2n+1)/6+n+1)=(n+1)*((2n^2+7n+6)/6)
> >>et 2n^2+7n+6=((n+1)+1)(2(n+1)+1) CQFD
> >>
> >
> >
> >[/color]
>[/color]

[Anonyme]

Bonjour,

pg a écrit:
> Bonne idée cet assemblage mais réalisable ?
>
en réponse à Paul Delannoy :[color=green]
>> C'est vrai que c'est 'sorti d'un chapeau' mais je croyais que tu
>> cherchais justement cette formule... Pour répondre à ta question,
>> j'utiliserai des pbs 'géométriques' : on fait des barres de cubes (qui
>> s'assemblent les uns aux autres : matos péda) de 1,3,5,7,.. cubes. Avec
>> ces barres assemblées on fait des 'carrés' (de 1, 9, 25, 49 .. cubes
>> unité, puis on assemble ces carrés en un volume de... combien de cubes ?
>>[/color]

Le "livre des nombres" de Conway donne un tel empilement de cubes pour
la somme des carrés.
On empile les cubes en 3 pyramides à bases carrées
(c'est à dire 3 fois ce qu'on cherche).
Les cubes composant ces trois pyramides sont alors étalés sur un
rectangle de 2N+1 x (1+2+3+..+N) = (2N+1) x N(N+1)/2
en découpant deux des pyramides en tranches.
La troisième pyramide est non seulement découpée en tranches, mais les
tranches sont recoupées en tronçons pour complèter le rectangle.

Bon, pas clair en texte, un dessin vaut ici mieux qu'un long discours,
voir le livre de Conway pour les couleurs.

Un essai en ASCII :
4444333221
444433322d
4444333cdd
4444bcdcdd
----------
abcdbcdcdd
4444bcdcdd
4444333cdd
444433322d
4444333221

les pavés de 4 3 2 1 sont les tranches des deux premières pyramides
il y a 1^2 "1", 2^2 "2", 3^2 "3" et 4^2 "4" dans chaque.

Les a b c d sont les tronçons formant les couches a=1, b=2, c=3 d=4
de la troisième pyramide (idem il y a ... 4^2 "d").
ces tranches carrées sont formées de :

2*1 + 2*2 + 2*3 + 2*4 +...2*(n-1) + n = n^2

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

pg a écrit:
> Bonne idée cet assemblage mais réalisable ?

J'avais fait ça avec des cubes en plastique de matériel péda ; marque,
malheureusement, oubliée.

[Anonyme]

je viens a l instant de reproduire la question avec des cubes avec mon gosse
voici comment :

on commence par serie de 1 à n calculer par dessin de carrés puis autre
dessin et le tout forme un rectangle de n x n+1
donc la moitie est n(n+1)/2 conu comme le loup blanc


Pour la somme des carrés, on pose un cube pour 1 au carré
puis accoler 4 cubes pour 2 au carre en les mettant 2 par 2 (carré) pusi 9
par carre de 3 x 3
sorte de quart de pyramide
PUIS en remarquent que le dessin du pb precedent represenet le 1er etage de
mon addition de carrés
je somme tous les etages et c'est tres fructueux !!!






"Paul Delannoy" a écrit dans le message news:
41667AA9.2050907@univ-lemans.fr...
>
>
> pg a écrit:[color=green]
> > Bonne idée cet assemblage mais réalisable ?
>
> J'avais fait ça avec des cubes en plastique de matériel péda ; marque,
> malheureusement, oubliée.
>[/color]