Boules dans des espaces euclidiens

[Anonyme]

Bonjour,

Considérons un espace vectoriel euclidien et a et b deux points de la sphère
de centre x et de rayon r > 0.
On arrive à montrer que le milieu de [ab] est dans la boule ouverte de rayon
de centre x et de rayon r. Il me semble même qu'on peut le démonter pour
tout l'intérieur du segment [ab].
Existe -t -il d'autres espaces métriques dans lesquels cette propriété reste
vraie, et coment la démontrer ??

merci

Mathieu

[Anonyme]

"Mathieu VIENNEY" a écrit dans le message de
news:c7gdr9$iq3$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
> Considérons un espace vectoriel euclidien et a et b deux points de la
sphère
> de centre x et de rayon r > 0.
> On arrive à montrer que le milieu de [ab] est dans la boule ouverte de
rayon
> de centre x et de rayon r. Il me semble même qu'on peut le démonter pour
> tout l'intérieur du segment [ab].
> Existe -t -il d'autres espaces métriques dans lesquels cette propriété
reste
> vraie, et coment la démontrer ??
>
> merci
>
> Mathieu
>
>


Quelques idées en vrac... (adaptées j'espère à tes connaissances : quel
cursus suis-tu?)

La propriété que tu énonces revient à dire : (à n'utiliser que si ce terme a
été défini dans un de tes cours ...)

Les boules fermées d'un espace vectoriel euclidien sont strictement
convexes. ( plus contraignant que convexe : "une partie C d'un espace
vectoriel est convexe ssi pour chaque couple de points (a;b) de C le
segment [a;b] est inclus dans C.")

En gros c'est dû au fait que dans un espace vectoriel euclidien les boules
ont la forme de boule (en dim 3, de disque en dim 2, enfin d'objets
strictement convexes....)

La propriété n'est toutefois pas valable dans n'importe quel espace
vectoriel normé :
Ex 1 : considère sur R^2 la norme N(x;y)=|x|+|y|, dessine dans le plan la
boule unité (r=1, centrée en 0). tu devrais trouver deux points de la
sphère qui te donnent un contre-exemple.
Ex 2 : idem avec la norme n(x;y)=max(|x|;|y|) .

Dans ces deux cas las boule reste convexe (c'est toujours le cas dans un
espace vectoriel normé), mais pas strictement. En revanche, dans R^2 muni
d'une norme N_p (x;y)= ( |x|^p+|y|^p )^(1/p) avec 1<p les boules restent
strictement convexes (euclidien, c'est p=2) et cela se généralise aux
dimensions supérieures.

Ca marche encore dans les espaces de Hilbert par exemple (généralisation des
espaces euclidiens en dimension infinie....)


Le généralisation à des espaces métriques généraux me trouble un peu plus.
Pas de problème pour les espaces affines euclidiens (parce que l'espace
vectoriel euclidien est sous-jacent), Mais en général, la notion même de
segment dans un espace métrique demande à être définie clairement (Par
exemple, tu définis sur N la distance d(n;n')=|n-n'|, ce qui en fait un
espace métrique. J'ai du mal à concevoir ce que serait le segment qui
"relie" 1 et 2...).


Au fait, je ne sais pas si c'est ce que tu demandais mais voila une piste
pour prouver la propriété dans un espace euclidien.

On suppose sans perdre de généralité que la boule est centrée à l'origine
(il suffit de bien la translater...)
Chaque point de ]a;b[ s'écrit

e.a + (1-e).b où e est un nombre de ]0;1[

Il suffit donc de prouver que

|| e.a + (1-e).b || < r, pout tout e de ]0;1[.

soit encore (puisqu'une norme est un nombre positif),

|| e.a + (1-e).b ||^2< r^2, pout tout e de ]0;1[.

Cela revient à étudier le signe de la fonction

f(e)= || e.a + (1-e).b ||^2 - r^2, sur ]0;1[.

Comme dans un espace euclidien, la norme au carré c'est le carré scalaire,
on se rend compte que f n'est qu'une "banale" fonction du second dégré (qui
en plus se factorise de manière évidente) et puis normalement ça roule...

[Anonyme]

Mathieu VIENNEY a écrit :
> Bonjour,
>
> Considérons un espace vectoriel euclidien et a et b deux points de la sphère
> de centre x et de rayon r > 0.
> On arrive à montrer que le milieu de [ab] est dans la boule ouverte de rayon
> de centre x et de rayon r. Il me semble même qu'on peut le démonter pour
> tout l'intérieur du segment [ab].
> Existe -t -il d'autres espaces métriques dans lesquels cette propriété reste
> vraie, et coment la démontrer ??
>
> merci
>
> Mathieu
>
>
La propriété dont tu parles revient à dire que la norme euclidienne N
vérifie, pour tout couple de points (a,b) tels que a et b ne soient pas
colinéaires et de même sens, l'inégalité N(ta+(1-t)b)0.

Cette propriété d'inégalité stricte n'est pas exacte pour d'autres
normes (bien que l'inégalité large soit évidemment vraie toujours). Par
exemple avec la norme N1 sur l'espace R^2 définie (pour v=(x,y) ) par
N1(v)=abs(x)+abs(y), en prenant v1=(1,0) et v2=(0,1) tous les points du
segment [v1,v2] sont de norme 1 !

Par contre il y a des tas d'exemples pour lesquels l'inégalité stricte
est vraie. Les plus connus dans les espaces réels de dimension finie
sont les espaces normés définis par les normes Np avec p>1 :
Np(v)=(Somme(abs(xi))^p)^(1/p) (xi composantes de v) dont les espaces
euclidiens sont des cas particuliers (c'est le cas p=2). Cependant la
démonstration est un peu plus compliquée mais est très classique.

Pour te donner un exemple simple (un peu tiré par les cheveux, j'avoue)
il suffit de définir sur R^n une norme M définie par M(v)=N(v)+N'(v) où
N est la norme euclidienne et N' une autre norme quelconque (par ex. N1
définie plus haut). On vérifie aisément qu'il s'agit d'une norme
vérifiant la proposition demandée.

Tu parles d'espace métrique, mais il faut évidemment considérer des
exemples où la notion de segment ait un sens ! C'est le cas pour les
espaces vectoriels (ou affines) normés.

Pierre