De boules fermés

[Anonyme]

commment montrer que si E est espace complet et que B(a_n,r_n) est une
suite decroissante de boules fermés dont le rayon ne tend pas vers 0
alors l'intersection de toutes les boules est boule fermée.
voila a quoi j pensé on sait que r_n+1<r_n donc c'est une suite
decroissante donc converge vers r.de plus a_n est suite de cauchy car
norme(a_n+p-a_n)<r_n+p-r donc coverge vers un certain a.mais je ne
sais pas si la boule (a,r) est fermée.

la meme chose quand r_n tend vers 0 ça parait evident que
l'intersection est un singleton mais je sais pas comment l'exprimer ??

[Anonyme]

"yassine" a écrit dans le message de news:
f19812a0.0309131231.2d76a552@posting.google.com...
> commment montrer que si E est espace complet et que B(a_n,r_n) est une
> suite decroissante de boules fermés dont le rayon ne tend pas vers 0
> alors l'intersection de toutes les boules est boule fermée.
> voila a quoi j pensé on sait que r_n+1 decroissante donc converge vers r.de plus a_n est suite de cauchy car
> norme(a_n+p-a_n) sais pas si la boule (a,r) est fermée.
>
> la meme chose quand r_n tend vers 0 ça parait evident que
> l'intersection est un singleton mais je sais pas comment l'exprimer ??

Si x n'appartient pas à la limite L (qui existe par décroissance de la suite
et donc identification des limites inférieures et supérieures), alors il
existe n tel que x n'est pas dans B(a_n,r_n), ie x appartient au
complémentaire de cette boule fermée, qui est un ouvert (inclus dans E - L)
donc un voisinage de x. E-L est donc aussi voisinage de x.
On a montré que E-L est un ouvert, donc que L est fermé.

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Julien Santini