Sup : espaces vectoriel euclidiens.

[Anonyme]

E: espace euclidien orienté muni d une base orthonormale directe B et u un
endomorphisme

Soit La matrice 3,3 suivante Mb(u)= [3,1,sqrt(6)]
,[1,3,-sqrt(6)],[-sqrt(6),sqrt(6),2] ( [3,1,sqrt(6) étant les élements de la
premiere ligne).

On me demande d' étudier u

Voila j' ai vérifié que la norme de chaque colonne est bien égal a 1 et que
les produit scalaire sont deux a deux nul
le determinant étant "1" c' est une rotation pr trouver les pts fixe je
cherche ker(u-id) je trouve Vect(-1,1,1/sqrt(6)) voila d' apres le cours je
doois ensuite trouver un axe orienté et l' orienté selon un cts vecteur k
puis prendre un vecteur a orthogonal a k et calculer u(a) et identifié teta
.....

Voila je ne vois pas trop comment partir si quelqu' un peut m' aider...
Merci d' avance.

[Anonyme]

Rom1 a écrit:
> E: espace euclidien orienté muni d une base orthonormale directe B et u un
> endomorphisme
>
> Soit La matrice 3,3 suivante Mb(u)= [3,1,sqrt(6)]
> ,[1,3,-sqrt(6)],[-sqrt(6),sqrt(6),2] ( [3,1,sqrt(6) étant les élements de la
> premiere ligne).
>
> On me demande d' étudier u
>
> Voila j' ai vérifié que la norme de chaque colonne est bien égal a 1 et que
> les produit scalaire sont deux a deux nul
> le determinant étant "1" c' est une rotation pr trouver les pts fixe je
> cherche ker(u-id) je trouve Vect(-1,1,1/sqrt(6)) voila d' apres le cours je
> doois ensuite trouver un axe orienté et l' orienté selon un cts vecteur k
> puis prendre un vecteur a orthogonal a k et calculer u(a) et identifié teta

L'axe autour duquel se fait la rotation n'est pas changé par elle, n'est
ce pas ? et le vecteur trouvé n'est il pas de direction invariante par
U? Les vecteurs tels que a sont ainsi dans un plan perpendiculaire à cet
axe, et lorsque la rotation s'applique, leurs images aussi. L'angle est
ainsi déterminé par le produit scalaire de a par u(a) si a est
orthogonal à k.
>

[Anonyme]

> E: espace euclidien orienté muni d une base orthonormale directe B et u un
> endomorphisme
>
> Soit La matrice 3,3 suivante Mb(u)= [3,1,sqrt(6)]
> ,[1,3,-sqrt(6)],[-sqrt(6),sqrt(6),2] ( [3,1,sqrt(6) étant les élements de
la
> premiere ligne).
>
> On me demande d' étudier u
>
> Voila j' ai vérifié que la norme de chaque colonne est bien égal a 1 et
que
> les produit scalaire sont deux a deux nul
> le determinant étant "1" c' est une rotation pr trouver les pts fixe je
> cherche ker(u-id) je trouve Vect(-1,1,1/sqrt(6)) voila d' apres le cours
je
> doois ensuite trouver un axe orienté et l' orienté selon un cts vecteur k
> puis prendre un vecteur a orthogonal a k et calculer u(a) et identifié
teta
> ....

Bon on va commencer par réecrire un peu les choses pour faire la méthode

On note A ta matrice
[ 3 1 sqrt(6) ]
A = 1 / 4 * [ 1 3 -sqrt(6)]
[-sqrt(6) sqrt(6) 2 ]

Tu t'étais trompé dans l'énoncé =) Il y a forcément un 1/4 en facteur !
Déjà on vérifie que la matrice est orthogonale : c'est le cas, et la norme
fait 1. (immédiat à voir) donc A est un élement de O(3).
Calculons le déterminant, après quelques calculs on arrive à :
| -8 -4 * sqrt(6) |
det(A) = (-1/(4^3)) * |-4*sqrt(6) -4 | = 1 !
Donc A est un élement de SO(3) donc une matrice de rotation d'angle x
dirigée par u.

Et on a :
-> Tr A = 2 = 2*cos x + 1 (démo faite en cours pour le 2*cos x + 1)
L'ennui c'est qu'avec ca on a deux valeurs de x : pi / 3 et -pi / 3.

[ 0 *
* ]
-> A - transposée(A) = (1/4) * [ 0 0
* ]
[ -2*sqrt(6) 2*sqrt(6)
0 ]

C'est de la forme :
[ 0 -r q ]
[ r 0 -p ] * 1/4
[-q p 0 ]

Avec r = 0, q = 2*sqrt(6), p = 2*sqrt(6).

Donc, comme tu as du le démontrer en cours, tu as :
2 * sin x * u = 1/4 (2*sqrt(6), 2*sqrt(6), 0) = 2*(sqrt(6) / 4) * sqrt(2) *
(1/sqrt(2), 1/sqrt(2), 0)

(on doit avoir u unitaire, d'où la mise en facteur que je fais)

Au final, (ouf), on a :

{cos x = 1/2
{sin x = sqrt 3 / 2 x = Pi/3

Et A est la matrice de la rotation d'axe orienté par (1/sqrt2, 1/sqrt2, 0)
d'angle Pi/3.

D'où la conclusion =)

C'est la méthode "officielle" dans ma contrée =))

[Anonyme]

Oups la mise en page est pas bien passée =)

Les calculs sont a vérifier mais ca m'a l'air bon ;p

[Anonyme]

oui je m' était trompé ds l' énnoncé...
Merci bcp pr ces indications.

[Anonyme]

On Mon, 31 May 2004 17:48:53 +0200, "Vincent Sprit"
wrote:


>
>Bon on va commencer par réecrire un peu les choses pour faire la méthode
>
>On note A ta matrice

>-> Tr A = 2 = 2*cos x + 1 (démo faite en cours pour le 2*cos x + 1)
>L'ennui c'est qu'avec ca on a deux valeurs de x : pi / 3 et -pi / 3.
>
> [ 0 *
>* ]
>-> A - transposée(A) = (1/4) * [ 0 0
> * ]
> [ -2*sqrt(6) 2*sqrt(6)
>0 ]
>
>C'est de la forme :
>[ 0 -r q ]
>[ r 0 -p ] * 1/4
>[-q p 0 ]
>
>Avec r = 0, q = 2*sqrt(6), p = 2*sqrt(6).
>
>Donc, comme tu as du le démontrer en cours, tu as :
>2 * sin x * u = 1/4 (2*sqrt(6), 2*sqrt(6), 0) = 2*(sqrt(6) / 4) * sqrt(2) *
>(1/sqrt(2), 1/sqrt(2), 0)
>
>(on doit avoir u unitaire, d'où la mise en facteur que je fais)
>
>Au final, (ouf), on a :
>
>{cos x = 1/2
>{sin x = sqrt 3 / 2 x = Pi/3
>
>Et A est la matrice de la rotation d'axe orienté par (1/sqrt2, 1/sqrt2, 0)
>d'angle Pi/3.
>
>D'où la conclusion =)
>
>C'est la méthode "officielle" dans ma contrée =))
>
on peut aussi utiliser le produit vectoriel pour obtenir le
sinus de l'angle :
si u est un vecteur unitaire orientant l'axe de rotation
comme celui ci-dessus
u :
(1/sqrt2, 1/sqrt2, 0)
on prend v quelconque ortho à u
par exemple (1,-1,0)
on calcule l'image de v : r(v) et on fait le produit vectoriel de
v et r(v)
et v ^ r(v)=sin(angle)*||v||^2*u


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Pichereau Alain

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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

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[Anonyme]

Dac mais comment on calcul r(v) ? si j' ai pas l angle de la rotation...

[Anonyme]

On Mon, 31 May 2004 19:57:04 +0200, "Rom1"
wrote:

>Dac mais comment on calcul r(v) ? si j' ai pas l angle de la rotation...
>
grâce à la matrice A de r qui est donnée (point de départ de l'exo)

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[Anonyme]

oops...
désolé