PB anneaux pcsi

[Anonyme]

je n'arrive pas à résoudre cet exercice pourriez vous m'expliquez la
solution que l'on doit trouver svp ?
soit A un anneau tel que pour tout x appartien à A : x² = x. Mq pour tout x
appartient à A on a x +x =0 et en déduire que A est commutatif

merci beaucoup d'avance

[Anonyme]

flo a écrit :
>
> je n'arrive pas à résoudre cet exercice pourriez vous m'expliquez la
> solution que l'on doit trouver svp ?
> soit A un anneau tel que pour tout x appartien à A : x² = x. Mq pour tout x
> appartient à A on a x +x =0 et en déduire que A est commutatif

Je te propose de calculer ces deux choses de deux manieres différentes:

(-x)^2 = ...
(x + y)^2 = ...


--
Nico.

[Anonyme]

Un classique de colle toujours d'actualité

Tu as, pour x élement de A,

(x+x)² = x + x

Or (x+x)² = x² + x + x + x² = x + x

Je te laisse déduire la suite
Comme l'a dit Nicolas, pour la commutativité il faut calculer (x + y)²
A est aussi un anneau de Boole

[Anonyme]

merci beaucoup pour vos réponses et j'ai réussi à le finir !!
"Vincent" a écrit dans le message de news:
4007bb56$0$17127$626a54ce@news.free.fr...
> Un classique de colle toujours d'actualité
>
> Tu as, pour x élement de A,
>
> (x+x)² = x + x
>
> Or (x+x)² = x² + x + x + x² = x + x
>
> Je te laisse déduire la suite
> Comme l'a dit Nicolas, pour la commutativité il faut calculer (x + y)²
> A est aussi un anneau de Boole
>
>

[Anonyme]

Si on a pour tout x : x² = x, alors on a :
(-x)² = -x et (-x)² = x²
d'où, x² = -x et x² = x
donc x = -x.
Finalement, pour tout x de A, on a : x + x = 0.

Pour la commutativité, on a :
pour tout x, y de A, yx + yx =0, d'après ce qui précède, puis yx = -yx
Puis A est commutatif ssi xy = yx
ssi xy = -yx
ssi xy + yx = 0
ssi x (xy + yx) x = 0
ssi x²yx + xyx² =0
mais comme pour tout x de A, x² = x
A commutatif ssi xyx + xyx = 0
et la dernière égalité est toujours vraie.