Algèbre: polynome caractéristique et pivot de Gauss

[Anonyme]

Bonjour

Dans un exemple on a une matrice
M= ( 2 1 1
1 2 1
1 1 2 ) et on doit trouver le polynome caractéristique on trouve
P(X) = (x-1)²(4-x). Je n'arrive pas à le retrouver , j'utilise la formule
P(X)= det(M-X Id)
J'ai une matrice
( 2-X 1 1
1 2-X 1
1 1 2-X) et ensuite pour calculer le déterminant je ne retrouve
pas le polynome ...

Ensuite dans un autre exemple sur la méthode du pivot de Gauss
on a une matrice
-3 1 1 a
1 -3 1 b
1 1 -3 c
et au bout d'une réduction je trouve
-2 1 1 a
0 -3 3 2b + a
0 3 -3 2c + a
jusque là c'est bon mais ensuite notre prof fait L3 + L2=L3
-2 1 1 a
0 -3 3 2b + a
0 0 0 2c+2b+2a ??? ça ne devrait pas être 3c+a + b ??

Si quelqu'un pouvait m'expliquer merc beaucoup
B.

[Anonyme]

On Sat, 15 Jan 2005 12:32:00 +0100, "B."
wrote:

>Bonjour
>
>Dans un exemple on a une matrice
>M= ( 2 1 1
> 1 2 1
> 1 1 2 ) et on doit trouver le polynome caractéristique on trouve
>P(X) = (x-1)²(4-x). Je n'arrive pas à le retrouver , j'utilise la formule
>P(X)= det(M-X Id)
>J'ai une matrice
>( 2-X 1 1
> 1 2-X 1
> 1 1 2-X) et ensuite pour calculer le déterminant je ne retrouve
>pas le polynome ...
ajoute les 2 dernières lignes à la 1ière
et tu pourras mettre tout de suite 4-X en facteur dans le dét
>Ensuite dans un autre exemple sur la méthode du pivot de Gauss
>on a une matrice
>-3 1 1 a
>1 -3 1 b
>1 1 -3 c

>et au bout d'une réduction je trouve
bizarre vu la 1ère ligne précédente
>-2 1 1 a
>0 -3 3 2b + a
>0 3 -3 2c + a
> jusque là c'est bon mais ensuite notre prof fait L3 + L2=L3
>-2 1 1 a
>0 -3 3 2b + a
>0 0 0 2c+2b+2a ??? ça ne devrait pas être 3c+a + b ??
ben non car tu ajoutes la L2 et L3 du 2ième systéme (ce qui remplacera
la 3ième ligne)
donc la somme des seconds membres
est 2b+a+2c+a =2b+2c+2a
>
>Si quelqu'un pouvait m'expliquer merc beaucoup
>B.
>
>
>

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

salut

"B." a écrit dans le message de news:
41e8ff78$0$25790$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour
>
> Dans un exemple on a une matrice
> M= ( 2 1 1
> 1 2 1
> 1 1 2 ) et on doit trouver le polynome caractéristique on trouve
> P(X) = (x-1)²(4-x). Je n'arrive pas à le retrouver , j'utilise la formule
> P(X)= det(M-X Id)
> J'ai une matrice
> ( 2-X 1 1
> 1 2-X 1
> 1 1 2-X) et ensuite pour calculer le déterminant je ne retrouve
> pas le polynome ...

jusque là c'est bon pas de pb.
a partir de ton déterminant , tu peux faire L1+L2+L3 -> L1 ce qui donne :
P(X)=det ( 4-X 4-X 4-X
1 2-X 1
1 1 2-X)
tu mets (4-X) en facteur ce qui donne :
P(X)=(4-X)*det( 1 1 1
1 2-X 1
1 1 2-X)
ici tu peux faire apparaitre des zéros dans C1 en faisant L2-L1 ->L2 et
L3-L1 ->L3
P(X)=(4-X)*det( 1 1 1
0 1-X 0
0 0 1-X)
ce qui donne P(X)=(4-X)(1-X)^2

> Ensuite dans un autre exemple sur la méthode du pivot de Gauss
> on a une matrice
> -3 1 1 a
> 1 -3 1 b
> 1 1 -3 c
> et au bout d'une réduction je trouve
> -2 1 1 a
> 0 -3 3 2b + a
> 0 3 -3 2c + a
> jusque là c'est bon mais ensuite notre prof fait L3 + L2=L3
> -2 1 1 a
> 0 -3 3 2b + a
> 0 0 0 2c+2b+2a ??? ça ne devrait pas être 3c+a + b ??
>
> Si quelqu'un pouvait m'expliquer merc beaucoup
> B.

écrire L3+L2=L3 revient à dire que tu remplaces la ligne 3 par la somme de
la ligne 2 et de la ligne 3
donc pour la colonne 2 : -3+3=0
pour la colonne 3 : 3-3=0
pour la colonne 4 : 2b+a+2c+a=2a+2b+2c
donc ce que ton prof a mis est juste !!!
A+
Lolo

[Anonyme]

Merci beaucou mais je ne comprends pas c'est pourquoi on additionne les 3
lignes ?
Pourquoi ne peut on pas calculer le déterminant directement ?


> a partir de ton déterminant , tu peux faire L1+L2+L3 -> L1 ce qui donne :
> P(X)=det ( 4-X 4-X 4-X
> 1 2-X 1
> 1 1 2-X)
> tu mets (4-X) en facteur ce qui donne :
> P(X)=(4-X)*det( 1 1 1
> 1 2-X 1
> 1 1 2-X)
> ici tu peux faire apparaitre des zéros dans C1 en faisant L2-L1 ->L2 et
> L3-L1 ->L3
> P(X)=(4-X)*det( 1 1 1
> 0 1-X 0
> 0 0 1-X)
> ce qui donne P(X)=(4-X)(1-X)^2
>
>

[Anonyme]

> Merci beaucou mais je ne comprends pas c'est pourquoi on additionne les 3
> lignes ?

C'est pour simplifier les calculs.
C'est un réflexe à avoir dès lors que la somme des lignes (ou des colonnes)
est constante.

> Pourquoi ne peut on pas calculer le déterminant directement ?
>

Si, on peut.
Essayons :
det[
( 2-X 1 1
1 2-X 1
1 1 2-X) ]
= (2-X)*[(2-X)²-1] + 1*[(2-X)-1] + 1*[1-(2-X)]
Tu vois le problème ?
C'est pas beau, car pour obtenir (X-1)²(4-X), il faut tout développer puis
refactoriser.

[Anonyme]

"B." a écrit dans le message de news:
41e91a19$0$6421$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Merci beaucou mais je ne comprends pas c'est pourquoi on additionne les 3
> lignes ?
> Pourquoi ne peut on pas calculer le déterminant directement ?
>

si bien sûr, mais c'est plus coton pour les factorisations :
dans ton cas, on peut appliquer la règle de Sarrus :
P(X)=det(M-XId)=(2-X)^3+1+1-(2-X)-(2-X)-(2-X)=(2-X)^3+2-3(2-X)=(2-X)^3+3X-4
= 8-12X+6X^2-X^3+3X-4=-X^3+6X^2-9X+4
effectuons une factorisation de P(X):
on remarque que 1 est racine, donc :
P(X)=(X-1)(-X^2+5X-4)
maintenant trouvons les racines de X^2-5X+4 :
tu trouves alors que 1 et 4 sont racines donc:
P(X)=(X-1)(X-1)(-X+4)=(4-X)(X-1)^2
tu trouves alors forcément la même chose.

mais dans ton cas, on s'est retrouvé avec un polynôme d'ordre 3 avec racine
évidente donc c'est cool. mais avec un poly d'ordre supérieur, tu aurais
fait comment?
il faut donc au maximum faire des factorisations dans le déterminant pour
avoir le moins de calculs (compliqués) à faire.

Voila voila
A+

[Anonyme]

"Romain M" a écrit dans le message de news:
41e92b8f$0$10250$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> Merci beaucou mais je ne comprends pas c'est pourquoi on additionne les 3
>> lignes ?
>
> C'est pour simplifier les calculs.
> C'est un réflexe à avoir dès lors que la somme des lignes (ou des
> colonnes)
> est constante.
>
>> Pourquoi ne peut on pas calculer le déterminant directement ?
>>
>
> Si, on peut.
> Essayons :
> det[
> ( 2-X 1 1
> 1 2-X 1
> 1 1 2-X) ]
> = (2-X)*[(2-X)²-1] + 1*[(2-X)-1] + 1*[1-(2-X)][/color]

petite erreur : c'est (2-X)*[(2-X)²-1]-1*[(2-X)-1]+1*[1-(2-X)]
juste en passant c'est tout

> Tu vois le problème ?
> C'est pas beau, car pour obtenir (X-1)²(4-X), il faut tout développer puis
> refactoriser.
>
>