Une différence de sommes

[Dacu]

Bonjour à tous,

Un problème d'un autre forum:

Calculez .

Cordialement!

[zygomatique]

salut

donc tu veux simplement calculer ...

les sommes de puissances des n premiers entiers sont classiques ...


EDIT : j'ai mis des parenthèses pour lever toute ambiguïté ...

[Dacu]

salut

donc tu veux simplement calculer ...

les sommes de puissances des n premiers entiers sont classiques ...

Salut,

D'autres donnent une autre réponse ...

Cordialement!

[anthony_unac]

Bonsoir,
Sauf erreur, je propose :
PS: ... ainsi qu'une petite référence : "polynômes de Faulhaber"

[Lostounet]

La valeur classique de la somme des cubes ... tu peux trouver ici deux méthodes pour l'exprimer (dont celle de Ben qui est assez élégante ainsi que celle par interpolation Lagrangienne )
https://www.maths-forum.com/superieur/i ... s#p1146805

[Ben314]

Salut,
Perso, la "réponse" que je donnerais, c'est principalement que l'exo a pas de sens.
Ça :

.

ça n'est défini que lorsque et je n'ai jamais entendu parler d'une quelconque "convention classique" concernant le sens que ça a lorsque les bornes ne sont "pas dans le bon sens".
Et comme ici, il n'y a rien de précisé, ben on risque pas de répondre quoi que ce soit...
A la limite, un truc plus ou moins plausible, c'est de faire comme avec les intégrales où, du fait que si , on considère comme "logique" de poser lorsque .
Pour le symbole , vu que si (entiers), la même "logique" conduit à poser puis lorsque .
Mais bien sûr, il ne s'agit que d'une définition donc, même si elle est "logique", elle est on ne peut plus discutable.

Si on admet cette "logique" alors le truc à calculer, c'est .

P.S. :
Et, par contre, du fait de (*), ça me semble totalement illogique de définir comme étant égal à .

[Dacu]

Bonsoir,
Sauf erreur, je propose :
PS: ... ainsi qu'une petite référence : "polynômes de Faulhaber"

Bonjour,

Comment vous avez calculé?
J'ai obtenu .

Cordialement!

[chan79]

salut
Au vu des indices et
donc n=1
la différence cherchée est donc

bon, mais quelque chose me dit que c'est pas ça ...

Dacu, tu dis que ça vient d'un autre forum. Lequel ?

[Dacu]

salut
Au vu des indices et
donc n=1
la différence cherchée est donc

bon, mais quelque chose me dit que c'est pas ça ...

Dacu, tu dis que ça vient d'un autre forum. Lequel ?

Bonsoir,

Je ne pense pas qu'il est important de dire le nom de ce forum....le problème a été proposé par un ami.
Mes calculs ont été confirmés par le programme "WolframAlpha".La résolution du problème est un peu similaire au calcul de la intégrale simple en tenant compte des limites de l'intégration.
Au début, j'étais trop surpris par ce problème....mais à la fin je comprenais comment résoudre ce genre de problème.

Tous les meilleurs!

[zygomatique]

je ne suis pas tout à fait d'accord avec ben314 ...

je comprends "sa" logique ... vu que j'ai failli moi même la proposer ... et j'ai vraiment hésité ...

sauf que quand on intègre il y a une orientation et même quand on somme (de Riemann) il y a une orientation ...

par contre la somme de nombre est commutative donc on peut tout aussi bien adopter cette logique :



mais je conçois que ce soit discutable et suis tout à fait d'accord avec ta première affirmation : ça n'a pas de sens puisque ça n'est pas défini

[anthony_unac]

Bonsoir,
Sauf erreur, je propose :
PS: ... ainsi qu'une petite référence : "polynômes de Faulhaber"

Bonjour,

Comment vous avez calculé?
J'ai obtenu .

Cordialement!

Ah nous ne sommes pas si éloignés que ça !
Pour ma part je suis partie du calcul de la différence des (n^3) au cube premiers entiers auxquels on retranche les n^3 premiers entiers.

[Ben314]

sauf que quand on intègre il y a une orientation et même quand on somme (de Riemann) il y a une orientation ...

Pour toi, les réels sont "orientés" (pour reprendre tes termes) et pas les entiers ???
J'ai un peu du mal à comprendre ce que peut bien signifier "orienté" pour en arriver à une conclusion pareille.
De plus, je te rappelle qu'on peut voir une somme comme une intégrale pour la mesure de comptage et que réciproquement, une intégrale (de Riemann), c'est une limite de sommes (de Riemann).

Bref, de considérer que , c'est exactement la même chose que de poser : a première vue et si on ne réfléchi pas plus loin que le bout de son nez, ça semble pas si con que ça comme convention (la "surface sous la courbe" de a à b, c'est la même que celle de b à a), sauf que dés qu'on commence à utiliser des intégrales, ben on se rend tout de suite compte que c'est pas pratique du tout comme convention, en particulier pour le calcul de primitives (=intégrales indéfinies)

Pour les sommes, c'est très très exactement la même chose :
(1) Si on pose lorsque , puis qu'on pose pour alors on aura ainsi que pour absolument tout entier naturel n (positif ou négatif).
(2) Alors que, si on pose alors on aura et .
Et a mon sens, il n'y a pas photo : la convention (1) est nettement plus pratique que la (2).

Sinon, c'est effectivement pas con d'aller regarder par exemple quelle est la convention utilisée par Wolfram :
(sum k^3, k=1 to n^3)-(sum k, k=n^3 to 1)
(sum k^3, k=1 to n^3)+(sum k, k=2 to n^3-1)
(sum k^3, k=1 to n^3)-(sum k, k=1 to n^3)
(la deuxième ligne correspondant à mon interprétation du post précédent et la 3em à ton interprétation)

Par contre, pour sum k, k=1 to -5, Wolfram répond S=0 mais Maple, pour sum(k,k=1..-5), répond S=10 donc emploie stricto senso la convention (1), même dans le cas de constantes alors que Wolfram ne le fait qu'avec des variables (à priori, il doit systématiquement considérer que la variable "a le bon signe" pour que la somme soit "dans le bon sens")

Enfin, bref, une fois de plus, Dacu nous a fourni un beau morceau de "sans queue ni tête".
De plus, je suis persuadé que, lorsqu'il demande à Wolfram de calculer son truc (incohérent), il ne se rend même pas compte que c'est pas clair du tout du tout de savoir ce que Wolfram va en fait calculer.
A mon sens, c'est là qu'on voit une fois de plus le danger de fournir des outils "puissants" à des personnes qui n'ont aucun recul concernant l'outil en question et qui l'utilisent comme une "boite noire" : des types comme Dacu vont être persuadé de la justesse de leur résultat vu que "Wolfram le dit"...

[Dacu]

Bonjour à tous,

Regardez dit, "WolframAlpha":

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_1%5E(n%5E3)+k%5E3+-+sum_(n%5E3)%5E1+k

Je ne comprends pas!
Qu'est-ce pas clair dans le calcul du programme?
Le programme "WolframAlpha" affiche les valeurs pour .
Le calcul effectué par le programme "WolframAlpha" est erroné?


Cordialement!