Une construction graphique

[Dacu]

Un problème d'un autre forum :
S'inscrire un triangle équilatéral dans un certain triangle avec la ligne qui n'est pas calibré et le compas , sachant que les côtés et les pics des deux triangles ne sont pas confondues.Combien de triangles équilatéraux peut-on construire ?

[Dlzlogic]

Salut Chan,
As-tu regardé ? as-tu une idée ?
Pour l'instant, je sèche.

[chan79]

Salut Chan,
As-tu regardé ? as-tu une idée ?
Pour l'instant, je sèche.

salut Dlzlogic
Il y a une infinité de solutions.
On met un point M sur [AB].
On construit l'image de (BC) par la rotation de centre M et d'angle 60°. La droite obtenue coupe (CA) en P. On construit ensuite MNP.
voir le lien et vérifier...

[mathafou]

On met un point M sur [AB].
On construit l'image de (BC) par la rotation de centre M et d'angle 60°. La droite obtenue coupe (CA) en P. On construit ensuite MNP.

Bonjour,
presque
Comme on cherche des triangles équilatéraux inscrits et pas simplement avec les sommets sur les droites supports des côtés, mais sur les côtés même, il faut remplacer "droites" par "segments".
Selon le choix du point M et la forme de ABC ta construction peut donc échouer

une autre construction :
(il y en a des tas de ces constructions d'un triangle inscrit dans un autre)

on construit le triangle équilatéral AMC sur le côté AC
la droite (BM) coupe (AC) en E
les parallèles à (AM) et (MC) en E coupent les droites (AB) et (BC) en D et F
DEF est un des triangles équilatéraux dont les sommets sont sur les droites des côtés de ABC
les cercles circonscrits à AEF, BFD et CDE se coupent en un même point S (le démontrer)

tous les triangles équilatéraux "inscrits" dans ABC sont obtenus par toutes les similitudes d'angle quelconque et de centre S : on fait tourner les droites (SD), (SE), (SF) d'un même angle quelconque et cela donne les intersections D'E'F' avec les côtés et un autre triangle équilatéral "inscrit" (sans contrainte toujours sur les DEF à l'intérieur des côtés [AB], [BC], [CA])

pour que la construction n'échoue pas il faut choisir le côté "AC" comme étant le plus grand côté de ABC (sinon on risque d'obtenir des triangles avec juste des sommets sur les droites des cotés)

une autre construction encore :

choisir un point M sur le plus grand côté (ici BC) et tracer les droites à 60° de ce côté
elles coupent les deux autres en E et F
la médiatrice de EF coupe (BC) en D
(mais on rejoint un peu la construction de Chan avec les rotations de 60°)

[Dlzlogic]

@ Chan,
Oui, bon, je vieillis.
Donc, je crois qu'il est vraiment trop tard pour que je comprenne la logique.

[chan79]

Selon le choix du point M et la forme de ABC ta construction peut donc échouer

je suis d'accord, le point N peut se retrouver en dehors de [BC].
On a quand même réussi à trouver une infinité de solutions, le point M pouvant varier sur [AB]
:zen: