Théorème des fonctions dominées V.2.0

par **Arbre** » 31 Mai 2017, 23:42

Bonsoir,

$\textbf{Theoreme fonctions dominees V.2.0 : } \\\text{Soit }(f_n)_n \text{ une suite de fonction reels continue de [0,1], convergent simplement.}\\ \text{ A-t-on }\lim \limits_{n\rightarrow \infty} \int_0^1f_n=\int_0^1 \lim \limits_{n\rightarrow \infty} f_n \text{ ?}$

Au revoir.

par **Matt_01** » 01 Juin 2017, 00:42

Si lim fn < +inf oui, car on ne peut avoir sup (fn(x)) = +inf (pour n qui décrit N et x qui décrit [0,1]).
Et alors on applique le théorème de convergence dominée.

par **Arbre** » 01 Juin 2017, 00:57

car on ne peut avoir...

Et pourquoi, donc ?

Développe beaucoup plus tes explications, Merci.

par **Arbre** » 01 Juin 2017, 01:01

Bonsoir,

$\textbf{Partie convexe : } \text{Soit f une fonction de }C^1([0,1]). \\\text{A-t-on, l'existence d'une fonction convexe g (dites partie convexe de f) sur [0,1] tel que :}\\ \forall x,y\in[0,1] |f(x)-f(y)|\leq |g(x)-g(y)|\leq M\times |x-y|\text{ ?} \\ \text{avec M une borne pour f' sur [0,1]}$

PS : pour les réponses prières de développer vos explications (en précisant bien les résultats que vous utiliser).

Au revoir.

par **Matt_01** » 01 Juin 2017, 03:27

Bon en fait j'ai dit n'importe quoi, on peut avoir sup (fn(x)) = +inf (mais du coup le cas sup (fn(x)) < +inf permet de conclure quand même).
Et la propriété est fausse :
Si je définis fn qui vaut 2n²x sur [0,1/n], 4n -2n²x sur [1/n, 2/n] et 0 sur [2/n,1], alors fn est clairement continue et converge vers 0 (tout x différent de 0 fini par être dans [2/n,1] et fn(0)=0).
Mais l'intégrale de fn sur [0,1] est égale à 2 fois l'intégrale de fn sur [0,1/n] qui est égale à 2n²(1/2n²) = 1.

par **Matt_01** » 01 Juin 2017, 03:29

g(x) = (sup f') * x, où le sup est pris sur [0,1] (et qui est <+inf car f' continue sur [0,1], et l'inégalité venant du TAF).

par **Arbre** » 01 Juin 2017, 04:54

Bravo.

par **Arbre** » 01 Juin 2017, 05:08

Bravo.

$\textbf{Partie convexe + : } \text{Soit f une fonction, non affine de }C^1([0,1]). \\\text{A-t-on, l'existence d'une fonction convexe g (non affine dites partie convexe de f) sur [0,1] tel que :}\\ \forall x,y\in[0,1] |f(x)-f(y)|\leq |g(x)-g(y)|\leq M\times |x-y|\text{ ?} \\ \text{avec M un majorant de }|f'| \text{ sur [0,1]}$

par **Arbre** » 01 Juin 2017, 05:26

Bonsoir,

$\textbf{Calcul impossible : } \\\text{Calculer } (X^{2^{2^{2017}}} \mod (X^3+2X+1)) \mod (2^{89}-1)$

Au revoir.

par **Arbre** » 01 Juin 2017, 05:36

Il faut, en fait, que f ne soit pas concave.

Théorème des fonctions dominées V.2.0

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