Suites de 0 et de 1

par **chan79** » 19 Aoû 2012, 20:37

suites

1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1

La suite de nombres ci-dessus vérifie les conditions suivantes:
il y a 20 termes qui sont égaux à 0 ou 1
il n'y a pas deux 0 consécutifs;)

Combien y a-t-il de telles suites ?

par **nodjim** » 20 Aoû 2012, 10:37

17711 peut être ?

par **Matt_01** » 20 Aoû 2012, 12:34

10946 peut-être ?
Edit : Merde, j'ai décale d'un rang, je trouve pareil, 17711 (f_20 + f_19 (donc f_21))

par **chan79** » 20 Aoû 2012, 18:38

nodjim a écrit:17711 peut être ?

zut, c'est trop facile :hum:
c'est bien 17711 :++:

par **Lostounet** » 21 Aoû 2012, 16:46

Salut,

Euh comment faites-vous?

par **Joker62** » 21 Aoû 2012, 16:58

On le fait pour des suites à deux termes :

Il y a trois possibilités :

(1;1) - (0;1) et (1;0)
On a donc 1 une suite qui termine par 0 et 2 suites qui terminent par 1

Pour les suites à trois termes :
Il suffit de rajouter un terme aux suites à deux termes (waouh)
Pour les suites se terminant par 0, on ne peut rajouter qu'un 1 (Soit 1 suite)
Pour les suites se terminant par 1, on peut rajouter un 1 ou un 0. On a donc 2*2 suites

Au total 5 suites dont (1+2 qui se terminent par 1 et 2 qui se terminent par 0)

On prend son tableur excel et on finit :o

par **nodjim** » 21 Aoû 2012, 18:07

Il n'est pas interdit de prononcer le nom de la suite célèbre de Fibonacci.
Jusqu'à 20, on peut le faire à la main, non ?

par **Matt_01** » 21 Aoû 2012, 18:53

Si on note u(n) et v(n) le nombre de ces éléments à n chiffres commencant par respectivement 1 et 0, on s'apercoit facilement que :
u(n+1) = u(n) + v(n)
v(n+1) = u(n)

Par suite on peut établir que u(n+2)=u(n+1)+u(n) (et vis à vis des éléments initiaux, on retrouve la suite de fibonacci).
Et que u(n)+v(n) (ce qui nous intéresse) vaut u(n+1) soit le n+1 eme terme de fibonacci (ici 21).

par **chan79** » 22 Aoû 2012, 13:24

chan79 a écrit:

un autre dénombrement

1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1

La suite de nombres ci-dessus vérifie les conditions suivantes:
il y a 20 termes qui sont égaux à 0 ou 1
il n'y a pas plus de trois 1 consécutifs
il n'y a pas plus de trois 0 consécutifs

Combien y a-t-il de telles suites ?

par **Joker62** » 22 Aoû 2012, 13:55

21 892 ? [message trop court]

par **Matt_01** » 22 Aoû 2012, 15:28

20295 may be ?

par **Doraki** » 22 Aoû 2012, 16:38

Je penche pour 242830.

par **Matt_01** » 22 Aoû 2012, 20:22

En fait j'ai comme toi Joker ... comment tu obtiens ça Doraki ? J'vais revérifier.

par **chan79** » 22 Aoû 2012, 20:42

Doraki a écrit:Je penche pour 242830.

C'est OK pour 242830

par **Matt_01** » 22 Aoû 2012, 20:49

Ah mince, on a le droit a 3 en fait après relecture ! (sinon 21892 doit être bon :p)
J'vérifie si j'trouve pareil dans ce cas.

Edit : ouep :)

par **Joker62** » 22 Aoû 2012, 20:57

Ah oui ! Pas plus de trois 1 !

Nan mais on avait quand même bon hein :D

par **chan79** » 23 Aoû 2012, 12:11

Joker62 a écrit:Ah oui ! Pas plus de trois 1 !

Nan mais on avait quand même bon hein

Ok pour 21892 s'il n'y a pas plus de deux 0 consécutifs et pas plus de deux 1 consécutifs

par **Joker62** » 24 Aoû 2012, 17:02

N'empêche dans le premier dénombrement, on peut allez un peu plus vite :
Si on note

et

On remarque que

est un vecteur dont la première ligne est le nombre de suite se terminant par 0 et la seconde ligne est le nombre de suite se terminant par 1.

Au final, si on regarde bien, les valeurs propres de A sont les solutions de x^2 - x - 1

par **chan79** » 25 Aoû 2012, 19:49

Joker62 a écrit:N'empêche dans le premier dénombrement, on peut allez un peu plus vite :
Si on note

et

On remarque que est un vecteur dont la première ligne est le nombre de suite se terminant par 0 et la seconde ligne est le nombre de suite se terminant par 1.

Au final, si on regarde bien, les valeurs propres de A sont les solutions de x^2 - x - 1

Bravo pour cette idée de matrice
Après diagonalisation

et on a bien 6765+10946=17711
Ta méthode permet de retrouver la formule qui donne un terme de la suite de Fibonacci en fonction de son rang
F(n)=

on retrouve les valeurs propres qui sont élevées à la puissance n
:zen:

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