Suite contractante

[benekire2]

Soit u une suite vérifiant telle que avec f une application de R dans R telle que

Etudier la convergence de u.

Bon travail !

PS . Je sais pas si ça mérite sa place ici ...

[girdav]

On peut regarder par exemple pour la fonction définie par .

[Sylviel]

Je penses que


Est plus adapté...

[Ben314]

Je voterais plutôt pour :
telle que qui est un peu plus rigolo.

[Sylviel]

Oui, mais je ne sais pourquoi je pensais être dans la section lycée. Où ça me semblait violent.

[Ben314]

Même niveau Lycée, c'est quand même pas la mer à boire...

[darkpseudo]

Je voterais plutôt pour :
telle que qui est un peu plus rigolo.

Bonsoir , si f admet un point fixe on remplace y par ce point on remplace x par Un et en multipliant les termes et passant à la limite on obtient lim Un = y ( le point fixe ) c'est un truc d'école , mais si f n'admet pas de point fixe on fait comment stp ?

[benekire2]

Bonsoir , si f admet un point fixe on remplace y par ce point on remplace x par Un et en multipliant les termes et passant à la limite on obtient lim Un = y ( le point fixe ) c'est un truc d'école , mais si f n'admet pas de point fixe on fait comment stp ?

Et bien on montre qu'il y en a forcement un. .. Avec l enonce de ben bien sur.

[Ben314]

...en multipliant les termes et passant à la limite on obtient lim Un = y ( le point fixe )

tst sts sts, ce n'est pas aussi trivial que ça...
La suite Vn=|Un-L| est strictement décroissante et évidement minorée par 0 donc elle converge vers un certain lambda.
Mais pourquoi lambda est il forcément nul ?

Pour l'existence du point fixe, cela découle du fait que les hypothèses faites sur f impliquent que f est continue, que f(a)-a>=0 et que f(b)-b<=0 d'où...

[kasmath]

on peux la liée à théorème de suite de Cauchy

[Ben314]

on peux la liée à théorème de suite de Cauchy

On pourrait, mais ce n'est pas du tout obligatoire ici...

[benekire2]

Perso je suppose que |a-f(a)| est le minimum de cette quantite et ensuite je suppose que a ne vaut pas f(a) et j en deduit assez rapidement une contradictiob pour ainsi montrer que ce point fixe existe, et il est clairement unique.

[Ben314]

O.K., mais ça utilise un théorème nettement plus fort (vu en terminale ?) que celui des valeurs intermédiaires qui est le seul utile avec la méthode f(a)-a>=0 et f(b)-b<=0 :
Un terminale est il sensé savoir que tout fonction continue sur un intervalle fermé borné atteint ses bornes ?
(tu en a besoin dans ta preuve pour justifier l'existence de ton 'a')

[benekire2]

O.K., mais ça utilise un théorème nettement plus fort (vu en terminale ?) que celui des valeurs intermédiaires qui est le seul utile avec la méthode f(a)-a>=0 et f(b)-b<=0 :
Un terminale est il sensé savoir que tout fonction continue sur un intervalle fermé borné atteint ses bornes ?
(tu en a besoin dans ta preuve pour justifier l'existence de ton 'a')

Oui je sais que je l'utilise , c'est pas un truc vu en Term , mais les profs nous le font ( en tout cas c'est notre cas ) admettre , et comme tout le monde trouve ça "graphiquement évident" ça gène pas trop, mais en effet ta preuve est nettement mieux comme toujours ... :zen:

[benekire2]

tst sts sts, ce n'est pas aussi trivial que ça...
La suite Vn=|Un-L| est strictement décroissante et évidement minorée par 0 donc elle converge vers un certain lambda.
Mais pourquoi lambda est il forcément nul ?

Moi aussi j'avais pris cette méthode pour montrer la convergence de la suite vers son point fixe et ma première réaction fut d'utiliser Bolzano Weirestrass ... Mais en l'occurence on a plus simple :
V converge vers l€R , ie après passage à la limite u converge vers l+L donc u converge, et si c'est bien le cas c'est vers son point fixe. Ainsi l=0 (sauf erreur)

[Ben314]

...V converge vers l€R , ie après passage à la limite u converge vers l+L...

Non : le fait que |Un-L| converge vers lambda n'implique pas que Un converge vers L+lambda...

Il me semble que le plus simple est de procéder par l'absurde en supposant que |Un-L|->lambda>0 puis d'utiliser la définition d'une limite avec par exemple epsilon=lambda/2>0...

[benekire2]

Alors autant pour moi (zavais oublié le |.| ) :ptdr:

[benekire2]

Sinon, ta méthode est encore mieux que la mienne ,

[Ben314]

La soluce qui me semble la plus "élémentaire" (mais pas vraiment la plus courte) (en blanc) :

Par l'absurde : si |Un-L|->T>0 alors, en prenant epsilon=T/2>0 dans la définition d'une limite, on sait qu'il existe N tel que, pour tout n>N, |Un-L| soit dans ]T/2,3T/2[ ce qui signifie que Un est dans un des deux intervalles I1=]L-3T/2,L-T/2[ ; I2=]L+T/2,L+3T/2[.

a) S'il existe deux termes succéssifs Up et U(p+1) qui sont dans le même intervalle Ik alors |Up-U(p+1)|p |Un-U(n+1)|p) sont dans l'intervale Ik donc que le signe de Un-L est constant et donc que Un tend vers L'=L-T (si k=1) ou vers L'=L+T (si k=2) et, comme U(n+1)=f(Un) on a f(L')=L' et donc |f(L)-f(L')|=L-L' avec L' différent de L : contradiction.

b) Si deux termes succéssifs ne sont jamais dans le même intervalle alors les U(2n)-L sont de signe constant (par exemple >0) donc U(2n) tend vers L+T. De même, U(2n+1) tend vers L-T.
Comme f(U(2n))=U(2n+1) on a f(L+T)=L-T donc |f(L+T)-f(L)|=T=|(L+T)-L| avec L et L+T distincts : contradiction.

[benekire2]

Oui, moi c'est plus court , u est bornée donc une de ses sous suites converge vers l' et donc on arrive facilement a s'en sortir avec la décroissance de v ( deux lignes), pour ta méthode , on ne fait qu'utiliser le (faux ) argument que j'avais émis tout a l'heure en .. le rendant vrai . C'est plus long mais moins élémentaire , donc je préfère :ptdr: